🔢 Módulo 1.2: Conjuntos Numéricos

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Neste módulo, exploramos os conjuntos numéricos fundamentais que serão utilizados ao longo do curso, destacando suas principais propriedades e exemplos característicos.
Autor

Blog do Marcellini

Data de Publicação

30 de julho de 2025

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🎯 Post Anterior: 👉 1.1 O que é Cálculo? História e aplicações

1 🔢 Módulo 1.2: Conjuntos Numéricos

📌 Objetivos do Post
  • Explorar os conjuntos numéricos fundamentais para o cálculo;
  • Conhecer suas principais propriedades;
  • Apresentar exemplos e exercícios característicos.

1.1 ✨ O que são Conjuntos Numéricos?

Os conjuntos numéricos são grupos de números que compartilham características comuns. Os principais conjuntos que usaremos são:

  • Números Naturais \((\mathbb{N})\): \(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\)
    Usados para contar objetos, são os números inteiros não-negativos.

  • Números Inteiros \((\mathbb{Z})\): \(\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\)
    Incluem todos os números naturais, seus opostos negativos e o zero.

  • Números Racionais \((\mathbb{Q})\): números que podem ser escritos como fração \(\dfrac{a}{b}\), onde \(a, b \in \mathbb{Z}\) e \(b \neq 0\).
    Exemplo: \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), \(5\) (que é \(\frac{5}{1}\)).

  • Números Irracionais \((\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})\): números que não podem ser expressos como fração de dois inteiros, ou seja, não existe uma razão \(\dfrac{a}{b}\), com \(a \in \mathbb{Z}\) e \(b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\), que o representem de forma exata. Sua representação decimal nunca termina nem se repete, como ocorre com \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\).

  • Números Reais \((\mathbb{R})\): todos os números que podem ser representados na reta numérica, incluindo racionais e irracionais (como \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\)).

Reta Numérica Real
Reta Numérica Real

Crédito: Por Phrood~commonswiki - Obra do próprio, Domínio público, Hiperligação

1.2 🧠 Organização dos Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos não estão isolados — eles se organizam em uma hierarquia onde cada conjunto é subconjunto de outro mais amplo:

Hierarquia dos Conjuntos Numéricos
Hierarquia dos Conjuntos Numéricos

Crédito: Por Mortalmoth - Obra do próprio, Domínio público, Hiperligação

Essa estrutura pode ser representada assim:

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

Isso significa, por exemplo, que todo número natural é também inteiro, racional e real — mas o contrário nem sempre é verdadeiro.

1.3 🔍 🧠 Saiba Mais: O que é um número irracional?

🧠 Saiba Mais: O que é um número irracional?

🔢 Como vimos acima, um número irracional é um número real que não pode ser expresso como fração de dois inteiros; ou seja, não existe uma razão \(\dfrac{a}{b}\), com \(a \in \mathbb{Z}\) e \(b \in \mathbb{Z} \setminus {0}\), que o represente de forma exata.

✳️ Esses números possuem representação decimal infinita e não periódica, diferentemente dos racionais, que possuem representação decimal finita ou periódica. Exemplos famosos incluem:

\(\pi = 3{,}14159265\ldots\)

\(e = 2{,}71828182\ldots\)

\(\sqrt{2} = 1{,}4142135\ldots\)

📌 Os irracionais surgem naturalmente em diversos contextos matemáticos, como:

  • a diagonal de um quadrado de lado 1 \((\text{que é } \sqrt{2})\);

  • o perímetro de uma circunferência (relacionado a \(\pi\));

  • o crescimento exponencial e os logaritmos naturais (relacionados a \(e\)).

📜 A existência dos números irracionais foi uma descoberta histórica marcante na Grécia Antiga, especialmente entre os pitagóricos, que inicialmente acreditavam que todo número era racional — até a demonstração de que \(\sqrt{2}\) não poderia ser expresso como uma fração.

1.4 📐 A Escola Pitagórica e o Escândalo dos Irracionais

📐 A Escola Pitagórica e o Escândalo dos Irracionais

1.4.1 🏛️ Quem eram os Pitagóricos?

  • Uma seita filosófico-matemática fundada por Pitágoras de Samos no século VI a.C.
  • Acreditavam que “tudo é número” — ou seja, toda a realidade poderia ser expressa em termos de números racionais (frações entre inteiros).

1.4.2 📏 A Crise: A Descoberta dos Irracionais

  • Estudando o triângulo retângulo isósceles com catetos iguais a 1, descobriram que a hipotenusa tem comprimento \(\sqrt{2}\).
  • Problema: \(\sqrt{2}\) não pode ser expresso como uma fração.
  • Isso contradizia diretamente a doutrina pitagórica.

1.4.3 😱 Reação da Escola

  • A descoberta foi considerada herética.
  • Atribui-se a Hipaso de Metaponto a demonstração da irracionalidade de \(\sqrt{2}\).
  • Segundo a lenda, Hipaso foi expulso ou afogado por ter revelado esse segredo ao mundo.

1.4.4 📉 Impacto na Matemática

  • Foi o primeiro abalo no ideal de racionalidade matemática.
  • Iniciou o caminho para a aceitação e formalização dos números irracionais.
  • Hoje, sabemos que os irracionais são essenciais para a reta real ser completa.

1.5 📘 🧠 Exercícios — Identificando Números Irracionais

📘 🧠 Exercícios — Identificando Números Irracionais

  1. Classifique os números abaixo como racionais ou irracionais:

    1. \(\sqrt{9}\)

    2. \(\sqrt{5}\)

    3. \(\frac{4}{7}\)

    4. \(\pi\)

    5. \(0{,}101001000100001\ldots\)

  2. Qual das alternativas representa um número irracional?

    A. \(\frac{7}{3}\)
    B. \(1{,}333\ldots\)
    C. \(\sqrt{2}\)
    D. \(0{,}5\)

  3. Verdadeiro ou Falso:

    1. Todo número decimal infinito é irracional.
    2. \(\sqrt{25}\) é um número irracional.
    3. Existem mais números irracionais do que racionais.

1.6 📘 Gabarito

  1. Racional (resultado é 3)
  2. Irracional (não é raiz exata)
  3. Racional
  4. Irracional
  5. Irracional (decimal não periódico)

  1. Alternativa correta: C. \(\sqrt{2}\)

  1. Falso — apenas os decimais infinitos não periódicos são irracionais. Os decimais infinitos periódicos são racionais.
  2. Falso — \(\sqrt{25} = 5\), e 5 é um número natural, portanto racional.
  3. Verdadeiro — o conjunto dos números racionais é enumerável (ou seja, existe uma correspondência com os números naturais), o que significa que ele é contável.
    Já os números irracionais formam um conjunto não enumerável, ou seja, incontável. Isso foi demonstrado por Georg Cantor, que provou que a quantidade de números reais (e, portanto, irracionais) é estritamente maior que a quantidade de números racionais.
    Assim, existem “infinitamente mais” irracionais do que racionais na reta real. Resumo:
    Enumerável → Pode listar (como uma fila infinita).
    Não enumerável → Não pode listar; tem “mais” elementos que os naturais.

1.7 📜 Nota Histórica: 👤 Georg Cantor (1845–1918)

📜 Nota Histórica: 👤 Georg Cantor (1845–1918)

Georg Cantor foi um matemático alemão que revolucionou a matemática ao criar a teoria dos conjuntos e desenvolver o conceito moderno de infinito.
Ele demonstrou que nem todos os infinitos são iguais, provando que o conjunto dos números reais (e, portanto, dos irracionais) é incontável (ou não enumerável), enquanto o conjunto dos racionais é contável (ou enumerável).

Apesar da resistência de muitos matemáticos de sua época, como Kronecker, Cantor persistiu em suas ideias e hoje é reconhecido como o pai da teoria dos conjuntos.

Sua obra lançou as bases para a matemática moderna, a lógica e a análise, influenciando profundamente áreas como a topologia, a computabilidade e a filosofia da matemática.

1.8 ✨ Representação Decimal dos Números Reais

Os números reais podem ser representados por uma expansão decimal finita ou infinita. Vamos explorar alguns exemplos e distinguir os principais casos:

🔹 Exemplo 1: Número racional com decimal finito (decimal exato)

Considere \(\dfrac{3}{4}\):

Passo a passo:

  1. Divida 3 por 4:
    \(3 \div 4 = 0{,}75\)

  2. Conclusão:
    \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
    → Decimal finito.
    → É um número racional.

🔹 Exemplo 2: Número racional com decimal infinito periódico

Considere \(\dfrac{1}{3}\):

Passo a passo:

  1. Divida 1 por 3:
    \(1 \div 3 = 0{,}333\ldots\)

  2. Conclusão:
    \(\dfrac{1}{3} = 0{,}\overline{3}\)
    → Decimal infinito periódico.
    → É um número racional.

🔹 Exemplo 3: Número irracional com decimal infinito não periódico

Considere \(\sqrt{2}\):

Passo a passo:

  1. Aproximação decimal:
    \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142135\ldots\)

  2. Observe que:

    • Não termina.
    • Não apresenta repetição de padrão.

  3. Conclusão:
    \(\sqrt{2}\) → Decimal infinito não periódico
    → É um número irracional.

✅ Observação Geral:

  • Todo número racional tem representação decimal finita ou infinita periódica.
  • Todo número irracional tem representação decimal infinita não periódica.

1.9 ✨ Representação Decimal dos Números Racionais — Dízimas Periódicas

A representação decimal de todo número racional (ou seja, frações de inteiros com denominador ≠ 0) é finita ou uma dízima periódica.

Vamos explorar exemplos com passo a passo:

🔢 Exemplo 1: \(\dfrac{1}{3}\)

Dividindo 1 por 3:

1 ÷ 3 = 0,3333...

A parte decimal repete o dígito 3 indefinidamente.

✅ Dízima periódica simples:
\(\dfrac{1}{3} = 0,\overline{3}\)

🔢 Exemplo 2: \(\dfrac{4}{11}\)

4 ÷ 11 = 0,363636...

O bloco “36” se repete.

✅ Dízima periódica simples:
\(\dfrac{4}{11} = 0,\overline{36}\)

🔢 Exemplo 3: \(\dfrac{7}{8}\)

7 ÷ 8 = 0,875

✅ Representação decimal finita:
Não é dízima — termina após alguns algarismos.

🔢 Exemplo 4: \(\dfrac{12}{90}\)

12 ÷ 90 = \(0,1\overline{3}\)

Neste caso, a parte não periódica é o 1, e o dígito 3 se repete infinitamente.

✅ Dízima periódica composta:
\(\dfrac{12}{90} = 0,1\overline{3}\)

🧠 Observação Importante

  • Se a fração irredutível tiver denominador com fatores apenas 2 e 5, a representação decimal é finita.
  • Caso contrário, a fração terá dízima periódica.

Por exemplo:

Fração Decimal Tipo
\(\dfrac{1}{2}\) 0,5 Finita
\(\dfrac{1}{4}\) 0,25 Finita
\(\dfrac{1}{6}\) \(0,1\overline{6}\) Dízima periódica composta
\(\dfrac{2}{9}\) \(0,\overline{2}\) Dízima periódica simples
\(\dfrac{12}{90}\) \(0,1\overline{3}\) Dízima periódica composta

📌 Todo número com dízima periódica é racional.
E o inverso também é verdadeiro: todo número racional tem representação decimal finita ou periódica.

1.10 📘 🧠 Exercícios Resolvidos: Dízimas Periódicas e Fração Geratriz

📘 Exercícios Resolvidos: Dízimas Periódicas e Fração Geratriz

1. Converta a dízima periódica \(0,\overline{3}\) para fração.

Passo a passo:

Seja \(x = 0,\overline{3}\)

Multiplique por \(10\) para deslocar a parte decimal uma casa: \[ 10x = 3,\overline{3} \]

Agora subtraia as equações: \[ 10x - x = 3,\overline{3} - 0,\overline{3} \Rightarrow 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

✅ Resposta: \(\dfrac{1}{3}\)

2. Converta \(0,\overline{72}\) em fração.

Passo a passo:

Seja \(x = 0,\overline{72}\)

Como o período tem \(2\) algarismos, multiplique por \(100\): \[ 100x = 72,\overline{72} \]

Subtraia as equações: \[ 100x - x = 72,\overline{72} - 0,\overline{72} \Rightarrow 99x = 72 \Rightarrow x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11} \]

✅ Resposta: \(\dfrac{8}{11}\)

3. Converta \(2,\overline{1}\) em fração.

Passo a passo:

Seja \(x = 2,\overline{1}\)

Multiplique por \(10\): \[ 10x = 21,\overline{1} \]

Subtraia: \[ 10x - x = 21,\overline{1} - 2,\overline{1} \Rightarrow 9x = 19 \Rightarrow x = \frac{19}{9} \]

✅ Resposta: \(\dfrac{19}{9}\)

4. Converta \(0,4\overline{7}\) em fração.

Passo a passo:

Separar parte não periódica \((4)\) e periódica \((7)\):
Seja \(x = 0,4\overline{7}\)

Multiplique por \(10\) para tirar a parte não periódica: \[ 10x = 4,\overline{7} \]

Multiplique por \(10\) novamente (total de \(100\)): \[ 100x = 47,\overline{7} \]

Agora subtraia: \[ 100x - 10x = 47,\overline{7} - 4,\overline{7} \Rightarrow 90x = 43 \Rightarrow x = \frac{43}{90} \]

✅ Resposta: \(\dfrac{43}{90}\)

5. Converta \(3,12\overline{5}\) em fração.

Passo a passo:

Separar parte inteira \((3)\), parte não periódica \((12)\) e periódica \((5)\):
Seja \(x = 3,125555\ldots\)

Multiplique por \(10^3 = 1000\) para posicionar o período: \[ 1000x = 3125,555\ldots \]

Multiplique por \(10^2 = 100\) para remover só a parte não periódica: \[ 100x = 312,555\ldots \]

Subtraia: \[ 1000x - 100x = 3125,555\ldots - 312,555\ldots = 2813 \Rightarrow 900x = 2813 \] \[ \Rightarrow x = \frac{2813}{900} \]

✅ Resposta: \(\dfrac{2813}{900}\)

1.11 📘 🧠 Exercícios: Fração Geratriz de Dízimas Periódicas

🧠 Exercícios: Fração Geratriz de Dízimas Periódicas
  1. Escreva a fração geratriz da dízima periódica simples:
    1. \(0{,}\overline{3}\)
    2. \(0{,}\overline{7}\)
    3. \(0{,}\overline{2}\)
  2. Escreva a fração geratriz da dízima periódica composta:
    1. \(0{,}1\overline{3}\)
    2. \(0{,}72\overline{1}\)
    3. \(1{,}2\overline{45}\)
  3. Dê a fração geratriz correspondente às seguintes dízimas:
    1. \(0{,}\overline{81}\)
    2. \(2{,}\overline{6}\)
    3. \(3{,}4\overline{3}\)
  4. Um número decimal é \(0{,}4\overline{5}\). Escreva-o como fração e simplifique.

1.12 ✅ Gabarito

  1. \(\dfrac{1}{3}\)

  2. \(\dfrac{7}{9}\)

  3. \(\dfrac{2}{9}\)

  1. \(\dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}\)

  2. \(\dfrac{719}{990}\)

  3. \(\dfrac{1233}{990} = \dfrac{137}{110}\)

  1. \(\dfrac{81}{99} = \dfrac{9}{11}\)

  2. \(\dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3}\)

  3. \(\dfrac{310}{90} = \dfrac{31}{9}\)

  1. \(0{,}4\overline{5} = \dfrac{41}{90}\)

1.13 📚 Propriedades dos Conjuntos Numéricos

🔸 Definições úteis

  • 🔁 Fechamento: um conjunto é fechado para uma operação quando o resultado da operação entre quaisquer dois elementos do conjunto pertence também ao conjunto.

    • Exemplo: \(\mathbb{N}\) é fechado para a adição porque \(\forall \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{N}\), temos \(a + b \in \mathbb{N}\).

  • 🔍 Densidade: um conjunto é denso se entre quaisquer dois elementos distintos do conjunto existe outro elemento do mesmo conjunto.

    • Exemplo: \(\mathbb{Q}\) é denso porque entre quaisquer dois racionais \(a < b\), existe outro racional \(c\) tal que \(a < c < b\).

🔹 Naturais \((\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, ...})\)

  • Representam a contagem.
  • Fechados para adição e multiplicação.
  • Não fechados para subtração nem divisão.
  • Não contêm números negativos nem frações.

🔹 Inteiros \((\mathbb{Z} = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots \})\)

  • Incluem os naturais e seus opostos.
  • Fechados para adição, subtração e multiplicação.
  • Não fechados para divisão.
  • Não são densos (há “lacunas” entre inteiros consecutivos).

🔹 Racionais \(\left(\mathbb{Q}=\left\{a / b \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*, b \neq 0\right\}\right)\)

  • Incluem frações e decimais exatos ou periódicos.
  • Fechados para as quatro operações básicas (exceto divisão por zero).
  • Densos na reta real.

🔹 Irracionais \((\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})\)

  • Números com parte decimal infinita e não periódica (ex: \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\)).
  • Não podem ser escritos como fração.
  • Também são densos na reta real.
  • Não são fechados para adição ou multiplicação (ex: \(\sqrt{2} + (- \sqrt{2}) = 0 \notin \text{irracionais}\)).

🔹 Reais \((\mathbb{R})\)

  • União dos racionais e irracionais.
  • Representam todos os pontos da reta real.
  • Fechados para adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por 0).
  • Densos.

1.14 📌 Resumo: Propriedades dos Conjuntos Numéricos

📌 Resumo: Propriedades dos Conjuntos Numéricos
Conjunto Símbolo Propriedades principais
Naturais \(\mathbb{N}\) Começam no 0 ou 1 (depende da convenção), fechados para adição e multiplicação.
Inteiros \(\mathbb{Z}\) Incluem negativos, positivos e o zero. Fechados para adição, subtração e multiplicação.
Racionais \(\mathbb{Q}\) Podem ser escritos como fração de inteiros com denominador ≠ 0. Densos na reta real.
Irracionais \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) Não podem ser escritos como fração. Possuem casas decimais infinitas e não periódicas.
Reais \(\mathbb{R}\) União dos racionais e irracionais. Fechados para adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por 0). Densos.

1.15 📚 Propriedades Algébricas Básicas dos Números Reais

📚 Propriedades Algébricas Básicas dos Números Reais

  • \(0 \cdot x = 0\)
    (Multiplicar qualquer número por zero resulta em zero.)

  • \((-x) \cdot y = -(x \cdot y)\)
    (O sinal negativo pode ser “puxado” para fora da multiplicação.)

  • \((-x)(-y) = x \cdot y\)
    (Produto de dois negativos é positivo.)

  • \(x + y = x\) para todo \(x \Rightarrow y = 0\)
    (Unicidade do neutro aditivo.)

  • \(x \cdot y = x\) para todo \(x \Rightarrow y = 1\)
    (Unicidade da unidade multiplicativa.)

  • \(x + y = 0 \Rightarrow y = -x\)
    (Todo número tem um simétrico aditivo único.)

  • \(x \cdot y = 1 \Rightarrow y = x^{-1}\) (com \(x \ne 0\))
    (Todo número real diferente de zero tem um recíproco único.)

  • \(x + z = y + z \Rightarrow x = y\)
    (Lei do cancelamento da adição.)

  • \(z \ne 0 \text{ e } x \cdot z = y \cdot z \Rightarrow x = y\)
    (Lei do cancelamento da multiplicação.)

  • \(x \ne 0 \text{ e } y \ne 0 \Rightarrow x \cdot y \ne 0\)
    (Não existem divisores de zero no corpo dos reais.)

1.16 ✏️ Operações Auxiliares

Operações Auxiliares

  • Subtração:
    \[a - b = a + (-b)\]
    (Subtrair é somar o oposto.)

  • Divisão (com \(b \ne 0\)):
    \[\frac{a}{b} = a \cdot b^{-1}\]
    (Dividir é multiplicar pelo inverso.)

💡 Exemplos

  • Exemplo 1:
    Seja \(x = 5\). Qual é o simétrico aditivo de \(x\)?
    👉 \(-x = -5\)
    ✔️ Pois \(5 + (-5) = 0\)

  • Exemplo 2:
    Seja \(x = 3\), qual é seu inverso multiplicativo?
    👉 \(x^{-1} = \frac{1}{3}\)
    ✔️ Pois \(3 \cdot \frac{1}{3} = 1\)

  • Exemplo 3:
    A subtração é definida a partir da adição:

    👉 \(7 - 2 = 7 + (-2) = 5\)

  • Exemplo 4:
    A divisão é definida a partir da multiplicação:

    👉 \(5 \div 2 = 5 \cdot 2^{-1} = 5 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5\)

1.17 🧠 Exercícios de Revisão

🧠 Exercícios de Revisão — Módulo 1.2: Conjuntos Numéricos

  1. Classifique os números abaixo como racionais ou irracionais:

    1. √2 (b) 0,333… (c) π (d) 7/2 (e) √25

  2. Escreva os subconjuntos de ℝ na ordem crescente de inclusão.

  3. Dê três exemplos de números irracionais e justifique por que são irracionais.

  4. Mostre, com um exemplo, a diferença entre representação decimal finita e infinita.

  5. O número 3,727272… é racional? Justifique sua resposta e escreva a fração geratriz.

  6. Transforme a dízima periódica 0,1666… em uma fração.

  7. A sequência 1,4142135… representa a raiz quadrada de 2. Essa é uma dízima periódica? Por quê?

  8. Sabendo que \(a + 7 = b + 7\), o que podemos concluir sobre os números reais \(a\) e \(b\)? Justifique com a propriedade adequada.

  9. Simplifique a expressão:
    \[ (-3) \cdot (-x) + (-2x) \] Justifique com a propriedade adequada.

  10. Seja \(x \in \mathbb{R}\) tal que \(x \cdot a = x\) e \(x \ne 0\). O que podemos concluir sobre \(a\)?
    Justifique com a propriedade envolvida.

1.18 📝 Resoluções

    1. Irracional (√2 não tem raiz exata)
    2. Racional (é uma dízima periódica: 1/3)
    3. Irracional (π tem decimal infinito não periódico)
    4. Racional (fração de inteiros)
    5. Racional (√25 = 5)

  2. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

  3. Exemplos: √3, π, e. São irracionais pois não podem ser escritos como fração de inteiros e sua representação decimal é infinita e não periódica.

  4. Exemplo:

    • 1/4 = 0,25 (decimal finito)
    • 1/3 = 0,333… (infinito e periódico)

  5. Sim. 3,727272… é uma dízima periódica.
    Fração geratriz:
    Seja x = 3,727272…
    Então, 100x = 372,7272…
    Subtraindo: 100x - x = 372,7272… - 3,7272… = 369
    ⇒ 99x = 369 → x = 369/99 = 41/11

  6. Seja x = 0,1666…
    10x = 1,666…
    Subtraindo: 10x - x = 1,666… - 0,1666… = 1.5
    ⇒ 9x = 1.5 → x = 1.5/9 = 3/18 = 1/6

  7. Não. Essa representação de √2 é infinita não periódica, ou seja, é irracional.

  8. Pela lei do cancelamento da adição, se \(a + z = b + z\), então \(a = b\).
    Como \(z = 7\), temos:
    \[ a + 7 = b + 7 \Rightarrow a = b. \]

  9. Primeiro, usamos a propriedade: \((-x)(-y) = x \cdot y\), então:
    \[ (-3) \cdot (-x) = 3x. \]
    Substituindo na expressão:
    \[ 3x + (-2x) = x. \]

  10. Pela unicidade da unidade multiplicativa, se \(x \cdot a = x\), então \(a = 1\), desde que \(x \ne 0\).
    Portanto, \(a = 1\).

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