🔢 Módulo 1.2: Conjuntos Numéricos

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Neste módulo, exploramos os conjuntos numéricos fundamentais que serão utilizados ao longo do curso, destacando suas principais propriedades e exemplos característicos.
Autor

Blog do Marcellini

Data de Publicação

30 de julho de 2025

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🎯 Post Anterior: 👉 1.1 O que é Cálculo? História e aplicações

1 🔢 Módulo 1.2: Conjuntos Numéricos

Nota📌 Objetivos do Post
  • Explorar os conjuntos numéricos fundamentais para o cálculo;
  • Conhecer suas principais propriedades;
  • Apresentar exemplos e exercícios característicos.

1.1 ✨ O que são Conjuntos Numéricos?

Os conjuntos numéricos são grupos de números que compartilham características comuns. Os principais que usaremos são:

  • Números Naturais \((\mathbb{N})\): \(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\)
    Usados para contar objetos; são os inteiros não negativos.

  • Números Inteiros \((\mathbb{Z})\): \(\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\)
    Incluem todos os naturais, seus opostos e o zero.

  • Números Racionais \((\mathbb{Q})\): números que podem ser escritos como fração
    \[ \mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\;\middle|\;a,b\in\mathbb{Z},\; b\neq 0\right\}. \] Exemplos: \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), \(5=\frac{5}{1}\).

  • Números Irracionais \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\): não podem ser expressos como fração de inteiros; possuem decimal infinito não periódico (ex.: \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\)).

  • Números Reais \((\mathbb{R})\): todos os pontos da reta real; incluem racionais e irracionais.

Reta Numérica Real
Reta Numérica Real

Crédito: Phrood (Domínio público).

1.2 🧠 Organização dos Conjuntos Numéricos

Os conjuntos se organizam em cadeia de inclusões: \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. \]

Hierarquia dos Conjuntos Numéricos
Hierarquia dos Conjuntos Numéricos

Crédito: Mortalmoth (Domínio público).

Isso significa, por exemplo, que todo número natural é inteiro, racional e real — mas o contrário nem sempre vale.

1.3 🔍 🧠 Saiba Mais: O que é um número irracional?

Dica🧠 Saiba Mais: O que é um número irracional?

🔢 Um irracional é um real que não pode ser escrito como \(\dfrac{a}{b}\) com \(a,b\in\mathbb{Z}\) e \(b\neq 0\).
Sua expansão decimal é infinita não periódica (ex.: \(\pi\), \(e\), \(\sqrt{2}\)).

Surgem naturalmente em: diagonal do quadrado (\(\sqrt{2}\)), circunferência (\(\pi\)), crescimento exponencial/logaritmos (\(e\)).
Historicamente, a irracionalidade de \(\sqrt{2}\) abalou a escola pitagórica.

1.4 📐 A Escola Pitagórica e o “escândalo” dos irracionais

Nota📐 A Escola Pitagórica e os Irracionais

Quem eram? Comunidade filósofo-matemática (séc. VI a.C.) que defendia “tudo é número” (racional).

A crise. A hipotenusa de um triângulo isósceles de catetos 1 tem comprimento \(\sqrt{2}\), que não é racional.
Atribui-se a Hipaso a demonstração da irracionalidade de \(\sqrt{2}\).

Impacto. Primeiro abalo dessa visão; início da aceitação formal dos irracionais, essenciais para a completude de \(\mathbb{R}\).

1.5 📘 🧠 Exercícios — Identificando Irracionais

Nota📘 🧠 Exercícios — Identificando Números Irracionais
  1. Classifique como racional ou irracional:
    1. \(\sqrt{9}\) · b) \(\sqrt{5}\) · c) \(\tfrac{4}{7}\) · d) \(\pi\) · e) \(0{,}101001000100001\ldots\)
  2. Qual é irracional?
    1. \(\tfrac{7}{3}\) · B) \(1{,}333\ldots\) · C) \(\sqrt{2}\) · D) \(0{,}5\)
  3. V/F:
    1. Todo decimal infinito é irracional.
    2. \(\sqrt{25}\) é irracional.
    3. Existem mais irracionais do que racionais.

1.6 📘 Gabarito (identificação)

    1. Racional (\(=3\)) · b) Irracional · c) Racional · d) Irracional · e) Irracional (infinito não periódico)
  2. C (\(\sqrt{2}\))
    1. F (apenas os infinitos não periódicos são irracionais) · b) F (\(\sqrt{25}=5\) é racional) · c) V (reais/irracionais são não enumeráveis, racionais são enumeráveis — Cantor).

1.7 📜 Nota Histórica: Georg Cantor (1845–1918)

Dica📜 Nota Histórica: Georg Cantor

Criador da teoria dos conjuntos e do tratamento moderno do infinito.
Provou que \(\mathbb{R}\) (logo, os irracionais) é não enumerável, enquanto \(\mathbb{Q}\) é enumerável — há “mais” irracionais do que racionais.

1.8 ✨ Representação Decimal dos Reais

  • Racionais: decimal finito ou infinito periódico.
  • Irracionais: decimal infinito não periódico.

Exemplos rápidos: - \(\frac{3}{4}=0{,}75\) (finito)
- \(\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}\) (infinito periódico)
- \(\sqrt{2}\approx 1{,}4142135\ldots\) (infinito não periódico)

1.9 ✨ Dízimas periódicas e fração geratriz

Ex. 1 — \(\tfrac{1}{3}\):
\(1\div 3 = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}\) → racional.

Ex. 2 — \(\tfrac{4}{11}\):
\(4\div 11 = 0{,}363636\ldots = 0{,}\overline{36}\).

Ex. 3 — \(\tfrac{7}{8}\):
\(7\div 8 = 0{,}875\) (finito).

Ex. 4 — \(\tfrac{12}{90}\):
\(12\div 90 = 0{,}1\overline{3}\) → período “3”.

Nota🧠 Observação importante

A fração na forma irredutível tem decimal finito se e somente se seu denominador possui somente fatores 2 e/ou 5.
Caso contrário, a expansão é uma dízima periódica.

1.10 📘 🧠 Exercícios Resolvidos — Fração Geratriz

Nota📘 Exercícios Resolvidos: Dízimas → Fração

1. \(0{,}\overline{3}\).
Seja \(x=0{,}\overline{3}\). \(10x=3{,}\overline{3}\) ⇒ \(9x=3\) ⇒ \(x=\tfrac{1}{3}\).

2. \(0{,}\overline{72}\).
Seja \(x=0{,}\overline{72}\). \(100x=72{,}\overline{72}\) ⇒ \(99x=72\) ⇒ \(x=\tfrac{72}{99}=\tfrac{8}{11}\).

3. \(2{,}\overline{1}\).
\(x=2{,}\overline{1}\). \(10x=21{,}\overline{1}\) ⇒ \(9x=19\) ⇒ \(x=\tfrac{19}{9}\).

4. \(0{,}4\overline{7}\).
\(x=0{,}4\overline{7}\). \(10x=4{,}\overline{7}\), \(100x=47{,}\overline{7}\) ⇒ \(90x=43\) ⇒ \(x=\tfrac{43}{90}\).

5. \(3{,}12\overline{5}\).
\(x=3{,}12555\ldots\). \(1000x=3125{,}555\ldots\), \(100x=312{,}555\ldots\) ⇒ \(900x=2813\) ⇒ \(x=\tfrac{2813}{900}\).

1.11 🧩 Exercícios — Fração Geratriz

Nota🧩 Exercícios: Dízimas → Fração
  1. \(0{,}\overline{3}\), \(0{,}\overline{7}\), \(0{,}\overline{2}\)
  2. \(0{,}1\overline{3}\), \(0{,}72\overline{1}\), \(1{,}2\overline{45}\)
  3. \(0{,}\overline{81}\), \(2{,}\overline{6}\), \(3{,}4\overline{3}\)
  4. \(0{,}4\overline{5}\) (simplifique)

1.12 ✅ Gabarito — Fração Geratriz

  1. \(\tfrac{1}{3}\), \(\tfrac{7}{9}\), \(\tfrac{2}{9}\)

  2. \(\tfrac{2}{15}\), \(\tfrac{649}{900}\), \(\tfrac{1233}{990}=\tfrac{137}{110}\)

  3. \(\tfrac{9}{11}\), \(\tfrac{8}{3}\), \(\tfrac{103}{30}\)

  4. \(\tfrac{41}{90}\)

1.13 📚 Propriedades dos Conjuntos Numéricos

🔸 Definições úteis

  • Fechamento: um conjunto é fechado para uma operação quando o resultado permanece no conjunto.
    Ex.: \(\mathbb{N}\) é fechado para adição; \(\mathbb{Z}\) é fechado para subtração.

  • Densidade: um conjunto é denso se entre quaisquer dois elementos distintos existe outro do mesmo conjunto.
    Ex.: \(\mathbb{Q}\) é denso; também \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) é denso em \(\mathbb{R}\).

🔹 Naturais \((\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\})\)
Contagem; fechados para \(+\) e \(\cdot\); não fechados para \(-\) e \(/\).

🔹 Inteiros \((\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\})\)
Incluem \(\mathbb{N}\); fechados para \(+\), \(-\), \(\cdot\); não fechados para \(/\).

🔹 Racionais \((\mathbb{Q})\)
Frações e decimais finitos/periódicos; fechados para as 4 operações (com \(b\neq 0\)); densos.

🔹 Irracionais \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\)
Decimais infinitos não periódicos; densos; não fechados para \(+\) ou \(\cdot\) (ex.: \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\notin\) irracionais).

🔹 Reais \((\mathbb{R})\)
\(\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\); representam a reta real.
Para \(a,b\in\mathbb{R}\), se \(b\neq 0\) então \(\tfrac{a}{b}\in\mathbb{R}\).

1.14 📌 Resumo — Propriedades

Dica📌 Resumo: Propriedades dos Conjuntos
Conjunto Símbolo Propriedades principais
Naturais \(\mathbb{N}\) \(+\) e \(\cdot\) fechados; base da contagem.
Inteiros \(\mathbb{Z}\) \(+\), \(-\), \(\cdot\) fechados; inclui negativos.
Racionais \(\mathbb{Q}\) Frações; decimais finitos ou periódicos; denso.
Irracionais \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) Decimais não periódicos; denso.
Reais \(\mathbb{R}\) União de racionais e irracionais; divisão definida para \(b\neq 0\).

1.15 📚 Propriedades Algébricas Básicas em \(\mathbb{R}\)

Nota📚 Propriedades Algébricas Básicas em ()
  • \(0\cdot x=0\);\((-x)\cdot y=-(x\cdot y)\);\((-x)(-y)=x\cdot y\)
  • \(x+y=x\Rightarrow y=0\);\(x\cdot y=x\Rightarrow y=1\)
  • \(x+y=0\Rightarrow y=-x\);\(x\cdot y=1\Rightarrow y=x^{-1}\,(x\neq 0)\)
  • \(x+z=y+z\Rightarrow x=y\) (cancelamento da adição)
  • \(z\neq 0\) e \(x\cdot z=y\cdot z\Rightarrow x=y\) (cancelamento da multiplicação)
  • \(x\neq 0,\ y\neq 0\Rightarrow x\cdot y\neq 0\) (não há divisores de zero em \(\mathbb{R}\))

1.16 ✏️ Operações Auxiliares

NotaOperações Auxiliares

Subtração: \(a-b=a+(-b)\).
Divisão (\(b\neq 0\)): \(\tfrac{a}{b}=a\cdot b^{-1}\).

Exemplos
- Simétrico aditivo de \(5\): \(-5\) (pois \(5+(-5)=0\)).
- Inverso multiplicativo de \(3\): \(\tfrac{1}{3}\) (pois \(3\cdot\tfrac{1}{3}=1\)).
- \(7-2=7+(-2)=5\); \(\ 5\div2=5\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}=2{,}5\).

1.17 🧠 Exercícios de Revisão

Nota🧠 Exercícios de Revisão — Módulo 1.2
  1. Classifique: \(\sqrt{2}\), \(0{,}333\ldots\), \(\pi\), \(7/2\), \(\sqrt{25}\).
  2. Escreva os subconjuntos de \(\mathbb{R}\) em ordem de inclusão.
  3. Dê três exemplos de irracionais e justifique.
  4. Diferencie decimal finito e infinito com exemplos.
  5. \(3{,}727272\ldots\) é racional? Encontre a fração geratriz.
  6. Transforme \(0{,}1666\ldots\) em fração.
  7. \(1{,}4142135\ldots\) (aprox. \(\sqrt{2}\)) é dízima periódica? Por quê?
  8. Se \(a+7=b+7\), conclua sobre \(a\) e \(b\).
  9. Simplifique: \((-3)\cdot(-x)+(-2x)\).
  10. Se \(x\cdot a=x\) e \(x\neq 0\), conclua sobre \(a\).

1.18 📝 Resoluções

  1. I, R, I, R, R.
  2. \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
  3. Ex.: \(\sqrt{3}\), \(\pi\), \(e\) (não são frações de inteiros; decimal não periódico).
  4. \(1/4=0{,}25\) (finito) vs. \(1/3=0{,}\overline{3}\) (infinito periódico).
  5. \(x=3{,}7272\ldots\). \(100x=372{,}72\ldots\); \(100x-x=369\) ⇒ \(x=\tfrac{369}{99}=\tfrac{41}{11}\).
  6. \(x=0{,}1666\ldots\). \(10x=1{,}666\ldots\) ⇒ \(9x=1{,}5\) ⇒ \(x=\tfrac{1{,}5}{9}=\tfrac{3}{18}=\tfrac{1}{6}\).
  7. Não. É infinito não periódico ⇒ irracional.
  8. Cancelamento da adição: \(a=b\).
  9. \((-3)(-x)=3x\) ⇒ \(3x+(-2x)=x\).
  10. Unidade multiplicativa: \(a=1\).