📘 Módulo 1.3: Intervalos e Inequações
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Como transformar uma desigualdade em uma região da reta real?
Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de:
- Interpretar desigualdades como comparações entre números na reta real;
- Representar conjuntos solução usando intervalos e uniões de intervalos;
- Resolver inequações lineares e inequações duplas;
- Resolver inequações quadráticas por meio das raízes, do discriminante e do sinal do coeficiente principal;
- Relacionar a concavidade da parábola, o quadro de sinais e os intervalos que formam o conjunto solução;
- Distinguir quando as extremidades dos intervalos devem ser incluídas ou excluídas.
1 📘 Intervalos e Inequações
Na aula anterior, começamos a organizar os números reais e a compreender a reta real como uma linha contínua de números.
Agora vamos dar um passo importante: aprender a descrever regiões da reta real.
Essas regiões aparecem constantemente no Cálculo. Por exemplo:
- valores de \(x\) para os quais uma função está definida;
- valores de \(x\) que tornam uma expressão positiva ou negativa;
- valores de \(x\) que satisfazem uma desigualdade;
- regiões nas quais um gráfico está acima ou abaixo do eixo \(x\).
A linguagem matemática utilizada para descrever essas regiões é a linguagem dos intervalos e das inequações.
1.1 🌱 A ideia intuitiva: comparar números
Comparar dois números significa perguntar qual deles aparece mais à esquerda ou mais à direita na reta real.
Se escrevemos
\[ 2<5, \]
estamos dizendo que \(2\) está à esquerda de \(5\) na reta real.
Se escrevemos
\[ 7>3, \]
estamos dizendo que \(7\) está à direita de \(3\).
Portanto, desigualdades são uma forma simbólica de falar sobre a posição dos números na reta real.
Na reta real, números menores ficam mais à esquerda e números maiores ficam mais à direita.
1.2 📏 A reta real como régua infinita
Podemos imaginar a reta real como uma régua infinita, que se estende indefinidamente para a esquerda e para a direita.
Nessa régua:
- cada ponto representa um número real;
- cada número real corresponde a um ponto;
- caminhar para a direita significa aumentar;
- caminhar para a esquerda significa diminuir.
Assim, quando escrevemos
\[ x>2, \]
não estamos procurando um único número. Estamos procurando todos os pontos da reta que ficam à direita de \(2\).
Quando escrevemos
\[ x<2, \]
estamos procurando todos os pontos da reta que ficam à esquerda de \(2\).
1.3 🧭 O que significa estar entre dois números?
Considere a frase:
\(x\) está entre \(1\) e \(4\).
Em linguagem matemática, isso pode ser escrito como
\[ 1<x<4. \]
Isso significa que \(x\) é maior que \(1\) e menor que \(4\).
Alguns valores que satisfazem essa condição são:
\[ 2,\qquad 3,\qquad 1{,}5,\qquad \sqrt{2}. \]
Mas \(1\) e \(4\) não entram, porque as desigualdades são estritas:
\[ 1<x<4. \]
Esse conjunto é chamado de intervalo aberto entre \(1\) e \(4\).
Escrevemos:
\[ (1,4). \]
1.4 📦 Intervalos: pedaços da reta real
Um intervalo é um subconjunto da reta real que contém todos os números situados entre quaisquer dois de seus elementos.
A palavra “contínuo” aqui é importante: se dois pontos pertencem ao intervalo, todos os pontos entre eles também pertencem.
Por exemplo, o intervalo
\[ [1,4] \]
contém todos os números reais de \(1\) até \(4\), incluindo \(1\) e \(4\).
Já o intervalo
\[ (1,4) \]
contém todos os números reais entre \(1\) e \(4\), mas não inclui as extremidades.
1.5 🚪 Intervalos abertos, fechados e semiabertos
A diferença entre parênteses e colchetes indica se as extremidades pertencem ou não ao intervalo.
| Notação | Descrição | Desigualdade correspondente |
|---|---|---|
| \((a,b)\) | Aberto nas duas extremidades | \(a<x<b\) |
| \([a,b]\) | Fechado nas duas extremidades | \(a\leq x\leq b\) |
| \([a,b)\) | Fechado em \(a\), aberto em \(b\) | \(a\leq x<b\) |
| \((a,b]\) | Aberto em \(a\), fechado em \(b\) | \(a<x\leq b\) |
A intuição é:
- parêntese significa que o ponto não entra;
- colchete significa que o ponto entra.
1.6 ♾️ Intervalos infinitos
Também podemos descrever regiões que se estendem indefinidamente.
Por exemplo:
\[ x>3 \]
representa todos os números maiores que \(3\). Em notação de intervalo:
\[ (3,+\infty). \]
Já
\[ x\leq -1 \]
representa todos os números menores ou iguais a \(-1\). Em notação de intervalo:
\[ (-\infty,-1]. \]
Nunca usamos colchete em \(-\infty\) ou \(+\infty\), porque infinito não é um número real e não pode ser incluído como ponto final.
1.7 ⚖️ Desigualdades como linguagem de intervalos
Uma desigualdade pode ser lida como uma descrição de uma região da reta real.
Por exemplo:
\[ x\geq 2 \]
significa que \(x\) pode ser \(2\) ou qualquer número maior que \(2\). Em notação de intervalo:
\[ [2,+\infty). \]
Outro exemplo:
\[ -3<x\leq 5 \]
significa que \(x\) está entre \(-3\) e \(5\), sem incluir \(-3\), mas incluindo \(5\).
Em notação de intervalo:
\[ (-3,5]. \]
Essa tradução entre desigualdades e intervalos será utilizada constantemente no estudo das funções.
1.8 🧱 Propriedades da ordem em \(\mathbb{R}\)
Agora que a ideia geométrica já está clara, podemos formalizar algumas propriedades importantes da ordem nos números reais.
Se \(a<b\), então:
1. Podemos somar o mesmo número aos dois lados:
\[ a+c<b+c. \]
2. Podemos multiplicar por um número positivo sem mudar o sentido da desigualdade:
\[ c>0 \quad \Rightarrow \quad ac<bc. \]
3. Ao multiplicar por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte:
\[ c<0 \quad \Rightarrow \quad ac>bc. \]
Essa última propriedade é uma das mais importantes no estudo das inequações.
Ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte.
Por exemplo, se
\[ -2x<6, \]
ao dividir os dois lados por \(-2\), obtemos
\[ x>-3. \]
O sinal mudou de \(<\) para \(>\).
1.9 🧮 Inequações: procurando regiões da reta
Uma inequação é uma desigualdade que contém uma incógnita.
Por exemplo:
\[ 2x-1>5. \]
Resolver essa inequação significa encontrar todos os valores de \(x\) que tornam a desigualdade verdadeira.
Vamos resolver:
\[ 2x-1>5. \]
Somando \(1\) aos dois lados:
\[ 2x>6. \]
Dividindo por \(2\):
\[ x>3. \]
Portanto, o conjunto solução é
\[ S=(3,+\infty). \]
Não encontramos apenas um número. Encontramos uma região da reta real.
1.10 🔄 Inequações com multiplicação por número negativo
Considere a inequação
\[ -3x+6\leq 0. \]
Subtraindo \(6\) dos dois lados:
\[ -3x\leq -6. \]
Agora dividimos por \(-3\). Como \(-3\) é negativo, o sentido da desigualdade se inverte:
\[ x\geq 2. \]
Logo, o conjunto solução é
\[ S=[2,+\infty). \]
1.11 🔎 Inequações duplas
Às vezes, uma condição aparece com duas desigualdades ao mesmo tempo.
Por exemplo:
\[ 1\leq 2x+3<7. \]
Isso significa que \(2x+3\) deve ser maior ou igual a \(1\) e menor que \(7\).
Subtraindo \(3\) em todos os lados:
\[ -2\leq 2x<4. \]
Dividindo por \(2\):
\[ -1\leq x<2. \]
Portanto,
\[ S=[-1,2). \]
1.12 📈 Inequações quadráticas: o sinal da parábola
Uma inequação quadrática é uma desigualdade que envolve um polinômio do segundo grau. Sua forma geral é
\[ ax^2+bx+c \;\square\; 0,\qquad a\neq 0, \]
em que \(\square\) representa um dos sinais \(<\), \(\leq\), \(>\) ou \(\geq\).
Para resolver esse tipo de inequação, estudamos o sinal da função quadrática
\[ f(x)=ax^2+bx+c. \]
O gráfico dessa função é uma parábola. A posição da parábola em relação ao eixo \(x\) permite identificar onde \(f(x)\) é positiva, negativa ou igual a zero.
1.12.1 1. Encontre as raízes da função
Começamos resolvendo a equação associada:
\[ ax^2+bx+c=0. \]
O discriminante é
\[ \Delta=b^2-4ac. \]
Quando \(\Delta>0\), existem duas raízes reais distintas, dadas por
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. \]
Vamos chamá-las de \(x_1\) e \(x_2\), ordenadas de modo que
\[ x_1<x_2. \]
1.12.2 2. Determine o sinal em cada intervalo
Quando existem duas raízes reais distintas, elas dividem a reta real em três regiões. O sinal do polinômio depende do sinal de \(a\):
| Região da reta | \((-\infty,x_1)\) | \(x_1\) | \((x_1,x_2)\) | \(x_2\) | \((x_2,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(a>0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(a<0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Em outras palavras:
- Se \(a>0\), a parábola tem concavidade voltada para cima: o polinômio é positivo fora das raízes e negativo entre elas.
- Se \(a<0\), a parábola tem concavidade voltada para baixo: o polinômio é negativo fora das raízes e positivo entre elas.
1.12.3 Exemplo 1 — Uma inequação com sinal negativo entre as raízes
Resolva:
\[ x^2-5x+6\leq 0. \]
Primeiro, encontramos as raízes:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0. \]
Logo,
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Como \(a=1>0\), a parábola tem concavidade para cima. Portanto, a expressão é negativa entre as raízes e igual a zero nos dois extremos.
Como a inequação é \(\leq 0\), incluímos também as raízes:
\[ \boxed{S=[2,3]}. \]
O diagrama mostra a parábola, seus pontos de interseção com o eixo \(x\) e o intervalo solução na reta real.
1.12.4 Exemplo 2 — Uma inequação com sinal positivo entre as raízes
Resolva:
\[ -x^2+4>0. \]
Encontramos as raízes:
\[ -x^2+4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2=4 \quad\Longleftrightarrow\quad x=-2\ \text{ou}\ x=2. \]
Como \(a=-1<0\), a parábola tem concavidade para baixo. Assim, a expressão é positiva entre as raízes.
A desigualdade é estrita (\(>0\)); portanto, as raízes não pertencem ao conjunto solução:
\[ \boxed{S=(-2,2)}. \]
1.12.5 Exemplo 3 — Uma solução formada pela união de intervalos
Resolva:
\[ x^2-5x+6>0. \]
A expressão pode ser fatorada:
\[ (x-2)(x-3)>0. \]
As raízes são
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Como \(a=1>0\), a parábola tem concavidade para cima. A expressão é positiva fora das raízes.
Como a desigualdade é estrita, os pontos \(2\) e \(3\) não pertencem à solução.
Assim, temos duas regiões da reta real:
\[ x<2 \qquad\text{ou}\qquad x>3. \]
O conjunto solução é a união de dois intervalos:
\[ \boxed{S=(-\infty,2)\cup(3,+\infty)}. \]
Esse exemplo mostra que o conjunto solução de uma inequação não precisa ser um único intervalo: ele também pode ser uma união de intervalos separados.
1.12.6 3. E quando o discriminante não é positivo?
Os outros valores do discriminante também permitem determinar o sinal da função.
Se \(\Delta=0\): existe uma raiz real dupla \(r\), e podemos escrever
\[ f(x)=a(x-r)^2. \]
A expressão tem o mesmo sinal de \(a\) em todos os pontos, exceto em \(x=r\), onde vale zero.
Por exemplo,
\[ (x-4)^2\leq 0 \]
tem como solução apenas
\[ S=\{4\}. \]
Se \(\Delta<0\): não existem raízes reais. A parábola não corta o eixo \(x\), e a expressão mantém, em toda a reta real, o sinal de \(a\):
- se \(a>0\), então \(f(x)>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\);
- se \(a<0\), então \(f(x)<0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Por exemplo,
\[ x^2+1\leq 0 \]
não possui solução real, pois \(x^2+1\) é sempre positivo.
- Escreva a expressão na forma \(ax^2+bx+c\).
- Calcule o discriminante e encontre as raízes reais, quando existirem.
- Observe o sinal de \(a\), que determina a concavidade da parábola.
- Monte o quadro de sinais nos intervalos determinados pelas raízes.
- Selecione as regiões que satisfazem a desigualdade.
- Inclua as raízes nas respostas com \(\leq\) ou \(\geq\); exclua-as nas respostas com \(<\) ou \(>\).
1.13 🧾 Quadro-resumo — Intervalos e Inequações
A ideia central é interpretar cada desigualdade como uma condição sobre os números reais e descrever o conjunto que a satisfaz.
Esse conjunto pode ser um intervalo, uma união de intervalos, um conjunto com um único ponto ou até mesmo o conjunto vazio.
Resolver uma inequação significa encontrar todos os valores reais que tornam a desigualdade verdadeira.
A notação de intervalo informa quais pontos pertencem à solução e quais ficam de fora.
| Forma algébrica | Leitura | Intervalo |
|---|---|---|
| \(x>a\) | \(x\) maior que \(a\) | \((a,+\infty)\) |
| \(x\geq a\) | \(x\) maior ou igual a \(a\) | \([a,+\infty)\) |
| \(x<a\) | \(x\) menor que \(a\) | \((-\infty,a)\) |
| \(x\leq a\) | \(x\) menor ou igual a \(a\) | \((-\infty,a]\) |
| \(a<x<b\) | \(x\) entre \(a\) e \(b\), sem extremos | \((a,b)\) |
| \(a\leq x\leq b\) | \(x\) entre \(a\) e \(b\), com extremos | \([a,b]\) |
1.13.1 Resumo do sinal de uma função quadrática
Para \(f(x)=ax^2+bx+c\), com \(a\neq 0\):
| Situação | Comportamento do sinal |
|---|---|
| \(\Delta>0\) e \(a>0\) | Positivo fora das raízes e negativo entre elas. |
| \(\Delta>0\) e \(a<0\) | Negativo fora das raízes e positivo entre elas. |
| \(\Delta=0\) | A expressão tem o sinal de \(a\), exceto na raiz dupla, onde vale zero. |
| \(\Delta<0\) | A expressão tem, em toda a reta real, o sinal de \(a\). |
Lembre-se:
- Em uma inequação estrita (\(<\) ou \(>\)), os pontos em que a expressão vale zero não entram na solução.
- Em uma inequação não estrita (\(\leq\) ou \(\geq\)), esses pontos entram na solução quando satisfazem o sentido da desigualdade.
- O sinal de \(a\) indica a concavidade: para cima se \(a>0\) e para baixo se \(a<0\).
- Uma solução pode ser um intervalo, uma união de intervalos, um conjunto unitário ou o conjunto vazio.
No Cálculo, precisamos determinar onde uma função está definida e em quais regiões ela assume valores positivos ou negativos. Intervalos e inequações permitem descrever essas condições. Por exemplo, os domínios de \(f(x)=\frac{1}{x-2}\) e \(g(x)=\sqrt{x-3}\) são, respectivamente, \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) e \([3,+\infty)\). Essa linguagem será fundamental no estudo de funções, limites e derivadas.
2 🧪 Exercícios propostos
2.1 🧪 Exercício 1
Escreva cada desigualdade em notação de intervalo:
\(x>4\)
\(x\leq -2\)
\(1<x<5\)
\(-3\leq x<2\)
2.2 🧪 Exercício 2
Escreva cada intervalo usando desigualdades:
\((2,+\infty)\)
\((-\infty,7]\)
\([1,4)\)
\((-5,3]\)
2.3 🧪 Exercício 3
Resolva as inequações:
\(2x+1>7\)
\(5-x\leq 2\)
\(-3x+6<0\)
\(4x-8\geq 0\)
2.4 🧪 Exercício 4
Resolva as inequações duplas:
\(1<x+2<6\)
\(-2\leq 3x+1<7\)
\(0<2x-4\leq 8\)
2.5 🧪 Exercício 5
Resolva as inequações quadráticas e escreva cada conjunto solução em notação de intervalo ou de conjunto:
\(x^2+x-6<0\)
\(-x^2+4\geq 0\)
\(x^2+4x+4\leq 0\)
\(x^2+1\leq 0\)
3 ✅ Gabarito comentado
3.1 🧪 Exercício 1
- \(x>4\), logo
\[ S=(4,+\infty). \]
- \(x\leq -2\), logo
\[ S=(-\infty,-2]. \]
- \(1<x<5\), logo
\[ S=(1,5). \]
- \(-3\leq x<2\), logo
\[ S=[-3,2). \]
3.2 🧪 Exercício 2
- \((2,+\infty)\), logo
\[ x>2. \]
- \((-\infty,7]\), logo
\[ x\leq 7. \]
- \([1,4)\), logo
\[ 1\leq x<4. \]
- \((-5,3]\), logo
\[ -5<x\leq 3. \]
3.3 🧪 Exercício 3
a)
\[ 2x+1>7. \]
Então,
\[ 2x>6. \]
Logo,
\[ x>3. \]
Portanto,
\[ S=(3,+\infty). \]
b)
\[ 5-x\leq 2. \]
Então,
\[ -x\leq -3. \]
Dividindo por \(-1\), invertemos o sinal:
\[ x\geq 3. \]
Portanto,
\[ S=[3,+\infty). \]
c)
\[ -3x+6<0. \]
Então,
\[ -3x<-6. \]
Dividindo por \(-3\), invertemos o sinal:
\[ x>2. \]
Portanto,
\[ S=(2,+\infty). \]
d)
\[ 4x-8\geq 0. \]
Então,
\[ 4x\geq 8. \]
Logo,
\[ x\geq 2. \]
Portanto,
\[ S=[2,+\infty). \]
3.4 🧪 Exercício 4
a)
\[ 1<x+2<6. \]
Subtraindo \(2\) em todos os lados:
\[ -1<x<4. \]
Portanto,
\[ S=(-1,4). \]
b)
\[ -2\leq 3x+1<7. \]
Subtraindo \(1\):
\[ -3\leq 3x<6. \]
Dividindo por \(3\):
\[ -1\leq x<2. \]
Portanto,
\[ S=[-1,2). \]
c)
\[ 0<2x-4\leq 8. \]
Somando \(4\):
\[ 4<2x\leq 12. \]
Dividindo por \(2\):
\[ 2<x\leq 6. \]
Portanto,
\[ S=(2,6]. \]
3.5 🧪 Exercício 5
a)
\[ x^2+x-6<0. \]
Fatorando:
\[ (x+3)(x-2)<0. \]
As raízes são \(-3\) e \(2\). Como a concavidade é para cima, a expressão é negativa entre as raízes.
Portanto,
\[ S=(-3,2). \]
b)
\[ -x^2+4\geq 0. \]
As raízes são \(-2\) e \(2\), e a concavidade é para baixo.
A expressão é positiva entre as raízes e vale zero nos extremos.
Portanto,
\[ S=[-2,2]. \]
c)
\[ x^2+4x+4\leq 0. \]
Temos
\[ (x+2)^2\leq 0. \]
Um quadrado nunca é negativo e vale zero somente quando \(x=-2\).
Portanto,
\[ S=\{-2\}. \]
d)
\[ x^2+1\leq 0. \]
Como \(x^2\geq 0\) para todo número real, \(x^2+1\) é sempre positivo.
Portanto, não há solução real:
\[ S=\varnothing. \]
4 🧩 Quiz — Intervalos e Inequações
Q1. A desigualdade \(x>3\) corresponde ao intervalo:
✗\((-\infty,3)\)
✓\((3,+\infty)\)
✗\([3,+\infty)\)
Q2. O intervalo \([-2,5)\) corresponde à desigualdade:
✗\(-2<x<5\)
✓\(-2\leq x<5\)
✗\(-2<x\leq 5\)
Q3. Ao dividir uma inequação por um número negativo:
✗O sinal da desigualdade permanece igual.
✓O sinal da desigualdade se inverte.
✗A desigualdade se transforma em uma igualdade.
Q4. A solução de \(-2x<6\) é:
✗\(x<-3\)
✓\(x>-3\)
✗\(x>3\)
Q5. A solução de \(x^2-5x+6>0\) é:
✓\((-\infty,2)\cup(3,+\infty)\)
✗\([2,3]\)
✗\((2,3)\)
Q6. A solução de \((x-4)^2\leq 0\) é:
✗\(\mathbb{R}\)
✓\(\{4\}\)
✗\(\varnothing\)
Q7. A inequação \(x^2+1\leq 0\), considerando apenas números reais, tem como conjunto solução:
✗\([-1,1]\)
✗\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)
✓\(\varnothing\)
Este aprofundamento é opcional. Você pode explorá-lo agora ou seguir as aulas principais e voltar quando quiser.
- 1.19-AP — Valor Absoluto e Inequações Modulares — Propriedades do módulo e resolução de inequações modulares.