📘 Módulo 1.3 AP: Valor Absoluto e Inequações Modulares

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Definições de módulo, propriedades, desigualdade triangular e resolução de inequações com valor absoluto.
Autor

Blog do Marcellini

Data de Publicação

9 de setembro de 2025

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Nota🎯 Objetivos de Aprendizagem
  • Definir o valor absoluto (módulo) e interpretar geometricamente.
  • Apresentar propriedades fundamentais do módulo.
  • Introduzir e aplicar a desigualdade triangular.
  • Resolver inequações com módulo.
  • Fixar o aprendizado com exemplos e exercícios.

1 Definição de Módulo

Nota📖 Definição

O valor absoluto (ou módulo) de um número real \(x\) é definido por:

\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0, \\ -x, & \text{se } x < 0. \end{cases} \]

2 Interpretação Geométrica

  • O módulo representa a distância de \(x\) até a origem na reta real.
  • Logo, \(|x|\ge 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).

3 Propriedades do Módulo

Importante📐 Propriedades principais
  1. \(|x|\ge 0\) e \(|x|=0 \iff x=0\).
  2. \(|xy|=|x|\cdot|y|\).
  3. \(|\dfrac{x}{y}|=\dfrac{|x|}{|y|}\), se \(y\ne0\).
  4. \(|x+y|\le |x|+|y|\) (desigualdade triangular).
  5. \(||x|-|y||\le |x-y|\) (desigualdade triangular reversa).
  6. \(|x|=\max\{x,-x\}=\sqrt{x^2}\).

  • (1) Por definição, \(|x|\) é a distância até a origem. Distância nunca é negativa, e só é nula quando o ponto é a própria origem (\(x=0\)).

  • (2) Sejam \(x,y\in\mathbb{R}\). Como o sinal de um produto é o produto dos sinais,
    \[ |xy| = (\pm x)\cdot(\pm y) = |x|\cdot |y|. \]

  • (3) Para \(y\ne0\), basta dividir a igualdade da propriedade anterior:
    \[ |x/y| = \frac{|x|}{|y|}. \]

  • (4) Desigualdade triangular: pela interpretação geométrica, \(|x+y|\) representa a distância entre \(0\) e \(x+y\). Essa distância nunca pode ser maior que a soma das distâncias de \(x\) e \(y\) até \(0\). Formalmente:
    \[ |x+y|^2 = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \le (|x|+|y|)^2, \] o que implica \(|x+y|\le |x|+|y|\).

  • (5) Desigualdade triangular reversa: pela desigualdade triangular, \(|x|=|(x-y)+y|\le |x-y|+|y|\Rightarrow |x|-|y|\le |x-y|\).
    Trocando os papéis de \(x\) e \(y\), obtemos \(|y|-|x|\le |x-y|\).
    Juntando as duas: \(||x|-|y||\le |x-y|\).

  • (6) Caracterizações de \(|x|\):
    Pela definição por casos, \(|x|=x\) se \(x\ge0\) e \(|x|=-x\) se \(x<0\).
    Assim, \(|x|=\max\{x,-x\}\). Como \(|x|\ge0\) e \(|x|^2=x^2\), segue \(|x|=\sqrt{x^2}\).

3.1 📌 Equivalências úteis para inequações modulares

Se \(a\ge0\), valem:

  • \(|x|<a \iff -a<x<a\).
  • \(|x|\le a \iff -a\le x\le a\).
  • \(|x|>a \iff x<-a \ \text{ou}\ x>a\).
  • \(|x|\ge a \iff x\le -a \ \text{ou}\ x\ge a\).
  • \(|x-c|<r \iff c-r<x<c+r\) (intervalo aberto de raio \(r\) centrado em \(c\)).

4 Exemplos Resolvidos

Nota🧮 Exemplo 1

Resolva: \[ |x| = 3 \]

Por definição:
- Se \(x\ge0\), então \(|x|=x=3 \Rightarrow x=3\).
- Se \(x<0\), então \(|x|=-x=3 \Rightarrow x=-3\).

✅ Solução: \(\{-3,3\}\).

Nota🧮 Exemplo 2

Resolva: \[ |x-2| < 5 \]

\(|x-2|<5 \iff -5 < x-2 < 5 \iff -3 < x < 7\).

✅ Solução: \((-3,7)\).

5 Inequações Modulares

Nota📖 Definição

Uma inequação modular é uma inequação que envolve valor absoluto, como \[ |f(x)| \ \{<, \le, >, \ge\}\ a, \] com \(a\ge0\). A resolução usa a definição por partes do módulo.

5.1 🔎 Quebra por casos básicos (com \(a\ge0\))

  • Caso 1 — menor que
    \[ |f(x)|<a \iff -a<f(x)<a. \]

  • Caso 2 — menor ou igual
    \[ |f(x)|\le a \iff -a\le f(x)\le a. \]

  • Caso 3 — maior que
    \[ |f(x)|>a \iff f(x)<-a \ \ \text{ou}\ \ f(x)>a. \]

  • Caso 4 — maior ou igual
    \[ |f(x)|\ge a \iff f(x)\le -a \ \ \text{ou}\ \ f(x)\ge a. \]

Dica🚧 Casos-limite com (a=0)
  • \(|f(x)|<0\): sem solução.
  • \(|f(x)|\le0\): equivale a \(f(x)=0\).
  • \(|f(x)|>0\): equivale a \(f(x)\ne0\).
  • \(|f(x)|\ge0\): sempre verdadeira (para todo \(x\)).

5.2 🎯 Formas centradas

Para \(|x-c| \ \{<,\le,>,\ge\}\ r\) com \(r\ge0\):

  • \(|x-c|<r \iff c-r<x<c+r\) (intervalo aberto)
  • \(|x-c|\le r \iff c-r\le x\le c+r\) (intervalo fechado)
  • \(|x-c|>r \iff x<c-r \ \text{ou}\ x>c+r\) (fora do intervalo)
  • \(|x-c|\ge r \iff x\le c-r \ \text{ou}\ x\ge c+r\)

5.3 ⚙️ Micro-exemplos

  • \(|x-2|<5 \iff -5<x-2<5 \iff -3<x<7\).
  • \(|2x+1|\ge3 \iff 2x+1\le-3\ \text{ou}\ 2x+1\ge3 \iff x\le-2\ \text{ou}\ x\ge1\).

6 Exercícios Propostos

Nota📝 Exercícios
  1. Resolva: \(|x+1|\le4\).
  2. Resolva: \(|2x-3|>5\).
  3. Resolva: \(|x^2-1|<3\).
  4. Verifique se \(|x+y|\le |x|+|y|\) para \(x=2, y=-5\).
  1. \(-4\le x+1\le4 \Rightarrow -5\le x\le3\).
  2. \(|2x-3|>5 \Rightarrow 2x-3>5\) ou \(2x-3<-5\) ⇒ \(x>4\) ou \(x<-1\).
  3. \(|x^2-1|<3 \Rightarrow -3<x^2-1<3 \Rightarrow -2<x^2<4\). Como \(x^2\ge0\), fica \(0\le x^2<4 \Rightarrow -2<x<2\).
  4. \(|2+(-5)|=|-3|=3\) e \(|2|+|{-5}|=2+5=7\). De fato, \(3\le7\).