📘 Módulo 1.13: Composição de Funções
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1 📘 Composição de Funções
Até agora, estudamos várias famílias de funções e também vimos como transformar gráficos a partir de funções conhecidas.
Agora vamos estudar uma operação fundamental: a composição de funções.
A ideia é simples: usamos a saída de uma função como entrada de outra.
Por exemplo, se
\[ f(x)=x^2 \]
e
\[ g(x)=x+1, \]
então podemos primeiro aplicar \(g\) e depois aplicar \(f\):
\[ f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2. \]
Também podemos fazer na ordem contrária:
\[ g(f(x))=g(x^2)=x^2+1. \]
Observe que, em geral,
\[ f(g(x))\neq g(f(x)). \]
A ordem importa.
1.1 💡 A ideia de composição
Suponha que temos duas funções:
\[ g:A\to B \]
e
\[ f:B\to C. \]
Se \(g\) leva elementos de \(A\) para \(B\), e \(f\) recebe elementos de \(B\) e leva para \(C\), então podemos formar a função composta
\[ f\circ g:A\to C. \]
A definição é:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Lemos:
\(f\) composta com \(g\) é a função que primeiro aplica \(g\) e depois aplica \(f\).
A notação
\[ f\circ g \]
não significa multiplicação. Ela indica composição.
Em \((f\circ g)(x)=f(g(x))\), a função que está mais perto de \(x\) é aplicada primeiro.
1.2 ✅ Exemplo básico
Considere
\[ f(x)=x^2 \]
e
\[ g(x)=x+3. \]
Então
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Como
\[ g(x)=x+3, \]
temos
\[ f(g(x))=f(x+3). \]
Agora aplicamos \(f(u)=u^2\) ao valor \(u=x+3\):
\[ f(x+3)=(x+3)^2. \]
Logo,
\[ (f\circ g)(x)=(x+3)^2. \]
Na ordem contrária:
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Como
\[ f(x)=x^2, \]
temos
\[ g(f(x))=g(x^2). \]
Agora aplicamos \(g(u)=u+3\) ao valor \(u=x^2\):
\[ g(x^2)=x^2+3. \]
Logo,
\[ (g\circ f)(x)=x^2+3. \]
Portanto,
\[ (f\circ g)(x)=(x+3)^2 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=x^2+3. \]
Essas funções são diferentes.
1.3 🔢 A ordem da composição importa
A composição de funções geralmente não é comutativa.
Isto é, em geral:
\[ f\circ g\neq g\circ f. \]
Por exemplo, com
\[ f(x)=x^2 \]
e
\[ g(x)=x+3, \]
temos:
\[ (f\circ g)(x)=(x+3)^2 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=x^2+3. \]
Se tomarmos \(x=1\):
\[ (f\circ g)(1)=(1+3)^2=16, \]
enquanto
\[ (g\circ f)(1)=1^2+3=4. \]
Logo, as duas composições não são iguais.
1.4 🔗 Composição com funções elementares
A composição aparece naturalmente em funções mais complexas.
Por exemplo:
\[ h(x)=\sqrt{x^2+1}. \]
Podemos ver essa função como a composição de duas funções:
\[ g(x)=x^2+1 \]
e
\[ f(u)=\sqrt{u}. \]
Então
\[ h(x)=f(g(x)). \]
Ou seja,
\[ h=f\circ g. \]
Outro exemplo:
\[ p(x)=\ln(3x-2). \]
Podemos escrever:
\[ g(x)=3x-2 \]
e
\[ f(u)=\ln u. \]
Então
\[ p(x)=f(g(x))=\ln(3x-2). \]
Essa forma de enxergar funções será essencial quando estudarmos a regra da cadeia em derivadas.
1.5 🧭 Domínio da função composta
O domínio de uma composta exige cuidado.
Para que
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
esteja definida, duas coisas precisam acontecer:
- \(x\) precisa pertencer ao domínio de \(g\);
- \(g(x)\) precisa pertencer ao domínio de \(f\).
Em símbolos, o domínio de \(f\circ g\) é o conjunto dos \(x\) tais que:
\[ x\in D_g \]
e
\[ g(x)\in D_f. \]
Não basta olhar apenas para a fórmula final simplificada. O domínio da composição depende das restrições de cada função envolvida.
1.6 ✅ Exemplo com raiz
Considere
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
e
\[ g(x)=x-2. \]
A composta é
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2)=\sqrt{x-2}. \]
Para essa expressão fazer sentido nos reais, precisamos de
\[ x-2\geq 0. \]
Logo,
\[ x\geq 2. \]
Assim,
\[ D_{f\circ g}=[2,+\infty). \]
Na ordem contrária:
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=\sqrt{x}-2. \]
Agora precisamos apenas que
\[ x\geq 0. \]
Logo,
\[ D_{g\circ f}=[0,+\infty). \]
Além das fórmulas serem diferentes, os domínios também são diferentes.
1.7 ✅ Exemplo com logaritmo
Considere
\[ f(x)=\ln x \]
e
\[ g(x)=x^2-4. \]
A composta é
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=\ln(x^2-4). \]
Como o logaritmo só aceita argumentos positivos, precisamos de
\[ x^2-4>0. \]
Fatorando:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
A inequação
\[ (x-2)(x+2)>0 \]
é satisfeita fora das raízes:
\[ x<-2 \]
ou
\[ x>2. \]
Logo,
\[ D_{f\circ g}=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
1.8 ✅ Exemplo com função racional
Considere
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
e
\[ g(x)=x^2-1. \]
A composta é
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-1}. \]
Para estar definida, precisamos de
\[ x^2-1\neq 0. \]
Como
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
temos
\[ x\neq -1 \]
e
\[ x\neq 1. \]
Logo,
\[ D_{f\circ g}=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty). \]
1.9 🧩 Decompor uma função composta
Também é importante saber fazer o processo inverso: reconhecer uma função composta e decompô-la.
Considere
\[ h(x)=(3x+1)^5. \]
Podemos definir:
\[ g(x)=3x+1 \]
e
\[ f(u)=u^5. \]
Então
\[ h(x)=f(g(x)). \]
Outro exemplo:
\[ h(x)=\sin(x^2). \]
Podemos tomar:
\[ g(x)=x^2 \]
e
\[ f(u)=\sin u. \]
Assim,
\[ h=f\circ g. \]
Essa leitura será indispensável para derivar funções compostas.
1.10 🔗 Composição e transformações gráficas
Muitas transformações gráficas podem ser vistas como composições.
Por exemplo,
\[ h(x)=f(x-3) \]
é a composição de \(f\) com
\[ g(x)=x-3. \]
Já
\[ p(x)=f(2x) \]
é a composição de \(f\) com
\[ g(x)=2x. \]
Isso mostra que as transformações horizontais são, na verdade, composições com funções simples na variável de entrada.
Do mesmo modo, expressões como
\[ 2f(x)+1 \]
podem ser entendidas como aplicar \(f\) e depois transformar o resultado.
1.11 🔗 Composição em modelos
Em aplicações, composição aparece quando uma grandeza depende de outra, que por sua vez depende de uma terceira.
Por exemplo:
- a temperatura pode depender da altitude;
- a altitude pode depender do tempo;
- então a temperatura pode ser vista como função do tempo.
Se
\[ A(t) \]
é a altitude no instante \(t\) e
\[ T(A) \]
é a temperatura em função da altitude, então
\[ T(A(t)) \]
é a temperatura em função do tempo.
Esse é um exemplo de composição.
1.12 🌉 Por que isso importa para o Cálculo?
A composição de funções é uma das ideias mais importantes para derivadas.
Quando estudarmos a regra da cadeia, veremos que a derivada de
\[ f(g(x)) \]
depende da derivada da função externa \(f\) e da derivada da função interna \(g\).
A regra da cadeia é uma das ferramentas centrais do Cálculo Diferencial.
Por isso, antes de derivar funções compostas, precisamos reconhecer a estrutura da composição.
2 🧪 Exercícios propostos
2.1 🧪 Exercício 1
Considere
\[ f(x)=x^2 \]
e
\[ g(x)=x+1. \]
Calcule:
- \((f\circ g)(x)\)
- \((g\circ f)(x)\)
- \((f\circ g)(2)\)
- \((g\circ f)(2)\)
2.2 🧪 Exercício 2
Considere
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
e
\[ g(x)=x-5. \]
Determine:
- \((f\circ g)(x)\)
- o domínio de \(f\circ g\)
- \((g\circ f)(x)\)
- o domínio de \(g\circ f\)
2.3 🧪 Exercício 3
Determine o domínio real das funções compostas:
- \(h(x)=\ln(x-3)\)
- \(p(x)=\sqrt{2x+4}\)
- \(q(x)=\dfrac{1}{x^2-9}\)
2.4 🧪 Exercício 4
Decomponha cada função como uma composição \(f(g(x))\):
- \(h(x)=(2x-1)^4\)
- \(p(x)=\sqrt{x^2+3}\)
- \(q(x)=\ln(5x+2)\)
- \(r(x)=\sin(3x)\)
2.5 🧪 Exercício 5
Explique por que, em geral,
\[ f\circ g\neq g\circ f. \]
3 ✅ Gabarito comentado
3.1 🧪 Exercício 1
Temos
\[ f(x)=x^2 \]
e
\[ g(x)=x+1. \]
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2. \]
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2+1. \]
\[ (f\circ g)(2)=(2+1)^2=9. \]
\[ (g\circ f)(2)=2^2+1=5. \]
3.2 🧪 Exercício 2
Temos
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
e
\[ g(x)=x-5. \]
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-5)=\sqrt{x-5}. \]
- Para estar definida nos reais, precisamos de
\[ x-5\geq 0. \]
Logo,
\[ x\geq 5. \]
Assim,
\[ D_{f\circ g}=[5,+\infty). \]
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=\sqrt{x}-5. \]
- Para \(g\circ f\), precisamos apenas que \(\sqrt{x}\) exista. Logo,
\[ x\geq 0 \]
e
\[ D_{g\circ f}=[0,+\infty). \]
3.3 🧪 Exercício 3
- Para
\[ h(x)=\ln(x-3), \]
precisamos de
\[ x-3>0. \]
Logo,
\[ x>3 \]
e
\[ D_h=(3,+\infty). \]
- Para
\[ p(x)=\sqrt{2x+4}, \]
precisamos de
\[ 2x+4\geq 0. \]
Logo,
\[ 2x\geq -4, \]
isto é,
\[ x\geq -2. \]
Assim,
\[ D_p=[-2,+\infty). \]
- Para
\[ q(x)=\frac{1}{x^2-9}, \]
precisamos de
\[ x^2-9\neq 0. \]
Como
\[ x^2-9=(x-3)(x+3), \]
temos
\[ x\neq -3 \]
e
\[ x\neq 3. \]
Logo,
\[ D_q=(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,+\infty). \]
3.4 🧪 Exercício 4
- Para
\[ h(x)=(2x-1)^4, \]
podemos tomar
\[ g(x)=2x-1 \]
e
\[ f(u)=u^4. \]
- Para
\[ p(x)=\sqrt{x^2+3}, \]
podemos tomar
\[ g(x)=x^2+3 \]
e
\[ f(u)=\sqrt{u}. \]
- Para
\[ q(x)=\ln(5x+2), \]
podemos tomar
\[ g(x)=5x+2 \]
e
\[ f(u)=\ln u. \]
- Para
\[ r(x)=\sin(3x), \]
podemos tomar
\[ g(x)=3x \]
e
\[ f(u)=\sin u. \]
3.5 🧪 Exercício 5
Em uma composição, a ordem de aplicação das funções importa. Em \(f\circ g\), aplicamos primeiro \(g\) e depois \(f\). Em \(g\circ f\), aplicamos primeiro \(f\) e depois \(g\). Como essas operações geralmente produzem expressões diferentes, em geral temos
\[ f\circ g\neq g\circ f. \]
Por exemplo, se \(f(x)=x^2\) e \(g(x)=x+1\), então
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2, \]
enquanto
\[ (g\circ f)(x)=x^2+1. \]
3.6 🧩 Quiz — Composição de Funções
Q1. Na composição \((f\circ g)(x)=f(g(x))\), qual função é aplicada primeiro?
✗\(f\).
✓\(g\).
✗\(f+g\).
Q2. Em geral, a composição de funções satisfaz:
✗\(f\circ g=g\circ f\) sempre.
✓\(f\circ g\) pode ser diferente de \(g\circ f\).
✗\(f\circ g\) nunca existe.
Q3. Para que \((f\circ g)(x)\) esteja definida, é necessário que:
✓\(x\) pertença ao domínio de \(g\) e \(g(x)\) pertença ao domínio de \(f\).
✗\(x\) pertença apenas ao contradomínio de \(f\).
✗\(f(x)\) seja sempre igual a \(g(x)\).