📘 Módulo 1.14: Função Inversa
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🎯 Post Anterior: 👉 1.13 Composição de Funções
1 📘 Função Inversa
Na aula anterior, estudamos composição de funções. Agora vamos usar essa ideia para entender um conceito fundamental: a função inversa.
Intuitivamente, uma função inversa desfaz o que a função original fez.
Por exemplo, a função
\[ f(x)=x+3 \]
soma \(3\) à entrada.
A função que desfaz essa operação é
\[ f^{-1}(x)=x-3. \]
De fato, se começamos com \(x\), aplicamos \(f\) e depois aplicamos \(f^{-1}\), voltamos para \(x\):
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x+3)=x. \]
A inversa é, portanto, uma função de retorno.
1.1 💡 A ideia de desfazer uma operação
Considere a função
\[ f(x)=2x. \]
Ela dobra o valor de entrada.
Para desfazer essa operação, dividimos por \(2\):
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{2}. \]
Assim,
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x)=\frac{2x}{2}=x. \]
Também temos:
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x}{2}\right)=2\cdot\frac{x}{2}=x. \]
Quando as duas composições devolvem a entrada original, uma função é inversa da outra.
1.2 📐 Definição de função inversa
Se
\[ f:A\to B \]
é uma função, uma função
\[ f^{-1}:B\to A \]
é chamada de inversa de \(f\) quando:
\[ f^{-1}(f(x))=x \]
para todo
\[ x\in A, \]
e
\[ f(f^{-1}(y))=y \]
para todo
\[ y\in B. \]
Em termos de composição:
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B, \]
onde \(\operatorname{id}\) representa a função identidade.
A inversa de uma função é a função que desfaz a ação da função original.
1.3 🆔 A função identidade
A função identidade em um conjunto \(A\) é dada por
\[ \operatorname{id}_A(x)=x. \]
Ela não altera a entrada.
Por exemplo, em \(\mathbb{R}\),
\[ \operatorname{id}_{\mathbb{R}}(x)=x. \]
Dizer que
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
significa que aplicar \(f\) e depois aplicar \(f^{-1}\) devolve o ponto inicial.
Dizer que
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B \]
significa que aplicar \(f^{-1}\) e depois aplicar \(f\) também devolve o ponto inicial.
1.4 ⚠️ Nem toda função tem inversa
Nem toda função possui inversa.
Para uma função ter inversa, ela precisa associar entradas diferentes a saídas diferentes e precisa atingir todos os valores do contradomínio considerado.
Em outras palavras, ela precisa ser bijetiva.
Uma função bijetiva é, ao mesmo tempo:
- injetiva;
- sobrejetiva.
Esses conceitos são importantes para entender quando a inversa existe.
1.5 🧩 Função injetiva
Uma função é injetiva quando entradas diferentes produzem saídas diferentes.
Formalmente, \(f\) é injetiva quando:
\[ x_1\neq x_2 \quad\Rightarrow\quad f(x_1)\neq f(x_2). \]
Equivalentemente:
\[ f(x_1)=f(x_2)\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2. \]
Exemplo:
\[ f(x)=2x+1 \]
é injetiva em \(\mathbb{R}\).
Se
\[ 2x_1+1=2x_2+1, \]
então
\[ 2x_1=2x_2, \]
logo
\[ x_1=x_2. \]
1.6 🧩 Função sobrejetiva
Uma função
\[ f:A\to B \]
é sobrejetiva quando todo elemento de \(B\) é atingido por algum elemento de \(A\).
Isto é, para todo
\[ y\in B, \]
existe
\[ x\in A \]
tal que
\[ f(x)=y. \]
Isso significa que a imagem da função é igual ao contradomínio:
\[ \operatorname{Im}(f)=B. \]
Por exemplo,
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
dada por
\[ f(x)=2x+1 \]
é sobrejetiva, pois qualquer real \(y\) pode ser escrito como
\[ y=2x+1 \]
para
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
1.7 🧩 Função bijetiva
Uma função é bijetiva quando é injetiva e sobrejetiva.
Funções bijetivas têm inversa.
A ideia é que cada elemento do domínio corresponde a exatamente um elemento do contradomínio, e cada elemento do contradomínio é atingido exatamente uma vez.
Assim, é possível inverter as setas sem ambiguidade.
Uma função tem inversa quando cada valor de saída corresponde a uma única entrada.
1.8 ✅ Exemplo de função com inversa
Considere
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
dada por
\[ f(x)=2x+3. \]
Para encontrar a inversa, escrevemos
\[ y=2x+3. \]
Agora resolvemos essa equação para \(x\):
\[ y-3=2x, \]
logo
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Trocando \(y\) por \(x\), obtemos
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}. \]
Vamos verificar:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+3)=\frac{(2x+3)-3}{2}=x. \]
E também:
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-3}{2}\right)=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x. \]
1.9 ✅ Exemplo de função sem inversa em todo \(\mathbb{R}\)
Considere
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
dada por
\[ f(x)=x^2. \]
Essa função não é injetiva em \(\mathbb{R}\), pois
\[ f(2)=4 \]
e
\[ f(-2)=4. \]
Duas entradas diferentes produzem a mesma saída.
Portanto, \(f(x)=x^2\) não possui inversa como função de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\).
1.10 🧭 Restringindo o domínio
Embora
\[ f(x)=x^2 \]
não tenha inversa em todo \(\mathbb{R}\), podemos restringir seu domínio.
Considere
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) \]
dada por
\[ f(x)=x^2. \]
Agora a função é injetiva e sobrejetiva.
A inversa é
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
De fato,
\[ \sqrt{x^2}=x \]
para
\[ x\geq 0. \]
Esse exemplo mostra que a existência da inversa depende fortemente do domínio e do contradomínio.
1.11 🪞 Como encontrar a inversa
Para encontrar a inversa de uma função dada por uma fórmula, podemos seguir estes passos:
- escreva \(y=f(x)\);
- resolva a equação para \(x\) em função de \(y\);
- troque o nome da variável \(y\) por \(x\);
- verifique domínio e imagem;
- se necessário, restrinja o domínio para garantir que a função seja injetiva.
Por exemplo:
\[ f(x)=\frac{x-1}{2}. \]
Escrevemos:
\[ y=\frac{x-1}{2}. \]
Multiplicando por \(2\):
\[ 2y=x-1. \]
Logo:
\[ x=2y+1. \]
Portanto:
\[ f^{-1}(x)=2x+1. \]
1.12 📊 Gráfico da função inversa
O gráfico da função inversa tem uma relação geométrica especial com o gráfico da função original.
Se
\[ (a,b) \]
pertence ao gráfico de \(f\), então
\[ (b,a) \]
pertence ao gráfico de \(f^{-1}\).
Isso significa que os gráficos de \(f\) e \(f^{-1}\) são simétricos em relação à reta
\[ y=x. \]
Por exemplo, as funções
\[ f(x)=e^x \]
e
\[ f^{-1}(x)=\ln x \]
têm gráficos simétricos em relação à reta \(y=x\).
1.13 🔎 Teste da reta horizontal
Para saber se uma função possui inversa, podemos usar o teste da reta horizontal.
Uma função é injetiva se toda reta horizontal intercepta seu gráfico em no máximo um ponto.
Se alguma reta horizontal corta o gráfico em dois ou mais pontos, então há dois valores diferentes de \(x\) produzindo a mesma saída. Nesse caso, a função não é injetiva e não possui inversa no domínio considerado.
Por exemplo, o gráfico de
\[ f(x)=x^2 \]
em \(\mathbb{R}\) falha no teste da reta horizontal.
Já o gráfico de
\[ f(x)=x^3 \]
passa no teste e possui inversa em \(\mathbb{R}\).
1.14 🚀 Exponencial e logaritmo
Um dos pares mais importantes de funções inversas é:
\[ f(x)=e^x \]
e
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
Temos:
\[ \ln(e^x)=x \]
para todo
\[ x\in\mathbb{R}, \]
e
\[ e^{\ln x}=x \]
para todo
\[ x>0. \]
Note a troca de domínio e imagem:
- \(e^x\) tem domínio \(\mathbb{R}\) e imagem \((0,+\infty)\);
- \(\ln x\) tem domínio \((0,+\infty)\) e imagem \(\mathbb{R}\).
1.15 🪞 Seno, cosseno e inversas
As funções trigonométricas também podem ter inversas, mas apenas após restrições adequadas de domínio.
Por exemplo, a função
\[ \sin x \]
não é injetiva em todo \(\mathbb{R}\), pois é periódica.
Mas se restringirmos o domínio a
\[ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \]
então o seno se torna injetivo e admite inversa, chamada arco-seno:
\[ \arcsin x. \]
Esse fenômeno mostra novamente que a inversa depende do domínio escolhido.
1.16 🌉 Por que isso importa para o Cálculo?
Funções inversas aparecem em muitos pontos do Cálculo.
A função logarítmica aparece como inversa da exponencial.
As funções trigonométricas inversas aparecem em integrais, substituições e equações.
A derivada da função inversa será estudada mais adiante.
Além disso, compreender inversas ajuda a entender melhor domínio, imagem, composição e transformação de funções.
2 🧪 Exercícios propostos
2.1 🧪 Exercício 1
Determine a inversa das funções:
- \(f(x)=x+5\)
- \(g(x)=3x-2\)
- \(h(x)=\dfrac{x}{4}\)
- \(p(x)=\dfrac{x-1}{2}\)
2.2 🧪 Exercício 2
Verifique por composição se as funções são inversas:
\[ f(x)=2x+1 \]
e
\[ g(x)=\frac{x-1}{2}. \]
2.3 🧪 Exercício 3
Explique por que
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2 \]
não possui inversa.
2.4 🧪 Exercício 4
Restrinja o domínio da função
\[ f(x)=x^2 \]
para que ela tenha inversa e determine essa inversa.
2.5 🧪 Exercício 5
Determine domínio e imagem das funções:
- \(f(x)=e^x\)
- \(g(x)=\ln x\)
3 ✅ Gabarito comentado
3.1 🧪 Exercício 1
- Para
\[ f(x)=x+5, \]
escrevemos
\[ y=x+5. \]
Logo,
\[ x=y-5. \]
Portanto,
\[ f^{-1}(x)=x-5. \]
- Para
\[ g(x)=3x-2, \]
temos
\[ y=3x-2. \]
Então
\[ y+2=3x, \]
logo
\[ x=\frac{y+2}{3}. \]
Portanto,
\[ g^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}. \]
- Para
\[ h(x)=\frac{x}{4}, \]
temos
\[ y=\frac{x}{4}. \]
Logo,
\[ x=4y. \]
Portanto,
\[ h^{-1}(x)=4x. \]
- Para
\[ p(x)=\frac{x-1}{2}, \]
temos
\[ y=\frac{x-1}{2}. \]
Então
\[ 2y=x-1. \]
Logo,
\[ x=2y+1. \]
Portanto,
\[ p^{-1}(x)=2x+1. \]
3.2 🧪 Exercício 2
Temos
\[ f(x)=2x+1 \]
e
\[ g(x)=\frac{x-1}{2}. \]
Calculando \(g(f(x))\):
\[ g(f(x))=g(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=\frac{2x}{2}=x. \]
Calculando \(f(g(x))\):
\[ f(g(x))=f\left(\frac{x-1}{2}\right)=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x-1+1=x. \]
Como as duas composições resultam na identidade, \(f\) e \(g\) são inversas.
3.3 🧪 Exercício 3
A função
\[ f(x)=x^2 \]
em todo \(\mathbb{R}\) não é injetiva, pois existem entradas diferentes com a mesma saída.
Por exemplo:
\[ f(2)=4 \]
e
\[ f(-2)=4. \]
Como uma mesma saída corresponde a duas entradas diferentes, não é possível definir uma inversa que seja função.
3.4 🧪 Exercício 4
Podemos restringir o domínio a
\[ [0,+\infty). \]
Assim,
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) \]
dada por
\[ f(x)=x^2 \]
é bijetiva.
Sua inversa é
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Também poderíamos restringir o domínio a \((-\infty,0]\). Nesse caso, a inversa seria
\[ f^{-1}(x)=-\sqrt{x}. \]
3.5 🧪 Exercício 5
- Para
\[ f(x)=e^x, \]
o domínio é
\[ \mathbb{R} \]
e a imagem é
\[ (0,+\infty). \]
- Para
\[ g(x)=\ln x, \]
o domínio é
\[ (0,+\infty) \]
e a imagem é
\[ \mathbb{R}. \]
Essas funções são inversas uma da outra.
3.6 🧩 Quiz — Função Inversa
Q1. A função inversa de \(f\) é aquela que:
✓Desfaz a ação de \(f\).
✗Multiplica \(f\) por zero.
✗Sempre troca \(x\) por \(-x\).
Q2. Para uma função ter inversa, ela deve ser:
✗Apenas constante.
✓Bijetiva.
✗Sempre quadrática.
Q3. Os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação à reta:
✗\(y=0\).
✗\(x=0\).
✓\(y=x\).