🔬 Módulo 1.20-AP: Valor Absoluto, Distância e Vizinhanças
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Este AP complementa a aula 1.4 Números Reais e Intervalos. Ele amplia o estudo sem interromper a sequência principal.
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1 🔬 Valor Absoluto, Distância e Vizinhanças
Este aprofundamento prepara uma das ideias mais importantes para o estudo de limites: proximidade.
Quando escrevemos
\[ |x-a|<\varepsilon, \]
estamos dizendo que \(x\) está perto de \(a\).
Mais precisamente: a distância entre \(x\) e \(a\) é menor que \(\varepsilon\).
Essa pequena expressão será essencial para entender a definição formal de limite.
1.1 📦 Valor absoluto como distância até zero
O valor absoluto de um número real \(x\) é definido por
\[ |x|= \begin{cases} x, & x\geq 0,\\ -x, & x<0. \end{cases} \]
Geometricamente, \(|x|\) mede a distância de \(x\) até zero na reta real.
Por exemplo:
\[ |5|=5, \]
e
\[ |-5|=5. \]
Os números \(5\) e \(-5\) estão à mesma distância da origem.
1.2 📏 Distância entre dois pontos
A distância entre dois números reais \(x\) e \(a\) é dada por
\[ |x-a|. \]
Por exemplo, a distância entre \(7\) e \(3\) é
\[ |7-3|=4. \]
A distância entre \(-1\) e \(3\) também é
\[ |-1-3|=|-4|=4. \]
Logo, a expressão
\[ |x-a| \]
mede quanto \(x\) está afastado de \(a\).
1.3 🎯 Vizinhança aberta
Uma vizinhança aberta de centro \(a\) e raio \(\varepsilon>0\) é o intervalo
\[ (a-\varepsilon,\;a+\varepsilon). \]
Equivalentemente, é o conjunto dos reais \(x\) tais que
\[ |x-a|<\varepsilon. \]
Portanto,
\[ |x-a|<\varepsilon \]
e
\[ a-\varepsilon<x<a+\varepsilon \]
dizem a mesma coisa.
Uma vizinhança aberta reúne todos os pontos que estão a uma distância menor que \(\varepsilon\) do centro \(a\).
1.4 ✅ Exemplo com centro 3
Se
\[ a=3 \]
e
\[ \varepsilon=0{,}5, \]
então a vizinhança aberta é
\[ (3-0{,}5,\;3+0{,}5)=(2{,}5,\;3{,}5). \]
Também podemos escrever:
\[ |x-3|<0{,}5. \]
Isso significa que \(x\) está a uma distância menor que \(0{,}5\) de \(3\).
1.5 🧭 Vizinhança furada
Em limites, muitas vezes queremos estudar o que acontece perto de \(a\), mas sem usar o próprio ponto \(a\).
Para isso, usamos uma vizinhança furada:
\[ 0<|x-a|<\varepsilon. \]
Essa desigualdade diz duas coisas:
- \(x\) está perto de \(a\);
- \(x\neq a\).
A condição
\[ 0<|x-a| \]
exclui o centro.
Isso será muito importante em limites, porque o limite de uma função em \(a\) depende do comportamento perto de \(a\), não necessariamente do valor da função em \(a\).
1.6 🔁 Desigualdades equivalentes
A desigualdade
\[ |x-a|<\varepsilon \]
é equivalente a
\[ -\varepsilon<x-a<\varepsilon. \]
Somando \(a\) nos três membros, obtemos
\[ a-\varepsilon<x<a+\varepsilon. \]
Assim,
\[ |x-a|<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon). \]
Essa equivalência é uma das ferramentas fundamentais para traduzir linguagem algébrica em linguagem geométrica.
1.7 ⚖️ Desigualdades com valor absoluto
Também temos a forma fechada:
\[ |x-a|\leq r \]
equivalente a
\[ a-r\leq x\leq a+r. \]
Por exemplo:
\[ |x-2|\leq 5 \]
equivale a
\[ -5\leq x-2\leq 5. \]
Somando \(2\):
\[ -3\leq x\leq 7. \]
Logo, a solução é
\[ [-3,7]. \]
1.8 🚪 Desigualdades do tipo maior que
A desigualdade
\[ |x-a|>r \]
significa que \(x\) está a uma distância maior que \(r\) de \(a\).
Isso corresponde a dois intervalos:
\[ x<a-r \]
ou
\[ x>a+r. \]
Por exemplo:
\[ |x-3|>2 \]
equivale a
\[ x<1 \]
ou
\[ x>5. \]
Logo, a solução é
\[ (-\infty,1)\cup(5,+\infty). \]
1.9 🌉 Ponte para limites
A definição formal de limite usa exatamente a linguagem de distância e vizinhança.
Dizer que
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \]
significa, informalmente, que podemos tornar \(f(x)\) tão perto de \(L\) quanto quisermos, desde que \(x\) esteja suficientemente perto de \(a\).
A linguagem formal usa expressões como:
\[ 0<|x-a|<\delta \]
e
\[ |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Por isso, compreender valor absoluto como distância é essencial antes de estudar limites com rigor.
2 🧪 Exercícios propostos
2.1 🧪 Exercício 1
Escreva na forma de intervalo:
- \(|x-4|<2\)
- \(|x+1|<3\)
- \(|x-5|\leq 1\)
2.2 🧪 Exercício 2
Escreva usando valor absoluto:
- \(x\in(2,8)\)
- \(x\in(-3,3)\)
- \(x\in[1,5]\)
2.3 🧪 Exercício 3
Resolva:
- \(|x-2|>4\)
- \(|x+3|\geq 2\)
2.4 🧪 Exercício 4
Explique o significado geométrico de
\[ 0<|x-a|<\varepsilon. \]
3 ✅ Gabarito comentado
3.1 🧪 Exercício 1
\[ |x-4|<2 \]
equivale a
\[ 4-2<x<4+2. \]
Logo,
\[ x\in(2,6). \]
\[ |x+1|<3 \]
é o mesmo que
\[ |x-(-1)|<3. \]
Logo,
\[ x\in(-4,2). \]
\[ |x-5|\leq 1 \]
equivale a
\[ 5-1\leq x\leq 5+1. \]
Logo,
\[ x\in[4,6]. \]
3.2 🧪 Exercício 2
- O intervalo \((2,8)\) tem centro \(5\) e raio \(3\). Logo:
\[ |x-5|<3. \]
- O intervalo \((-3,3)\) tem centro \(0\) e raio \(3\). Logo:
\[ |x|<3. \]
- O intervalo \([1,5]\) tem centro \(3\) e raio \(2\). Logo:
\[ |x-3|\leq 2. \]
3.3 🧪 Exercício 3
\[ |x-2|>4 \]
significa:
\[ x<2-4 \]
ou
\[ x>2+4. \]
Logo,
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(6,+\infty). \]
\[ |x+3|\geq 2 \]
é o mesmo que
\[ |x-(-3)|\geq 2. \]
Logo:
\[ x\leq -5 \]
ou
\[ x\geq -1. \]
Portanto,
\[ x\in(-\infty,-5]\cup[-1,+\infty). \]
3.4 🧪 Exercício 4
A expressão
\[ 0<|x-a|<\varepsilon \]
significa que \(x\) está dentro da vizinhança aberta de centro \(a\) e raio \(\varepsilon\), mas \(x\) não pode ser igual a \(a\). É uma vizinhança furada.
3.5 🧩 Quiz — Valor Absoluto, Distância e Vizinhanças
Q1. A expressão \(|x-a|\) representa:
✓A distância entre \(x\) e \(a\) na reta real.
✗A soma entre \(x\) e \(a\).
✗A multiplicação entre \(x\) e \(a\).
Q2. A desigualdade \(|x-3|<0{,}5\) representa:
✗\(x\) está longe de \(3\).
✓\(x\) está a uma distância menor que \(0{,}5\) de \(3\).
✗\(x\) é necessariamente igual a \(3\).
Q3. A expressão \(0<|x-a|<\varepsilon\) exclui:
✗Todos os pontos próximos de \(a\).
✓O próprio ponto \(a\).
✗Todos os números reais.