🔬 Módulo 1.21-AP: Domínio de Funções — Guia Completo
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Este AP complementa a aula 1.10 Conceito Formal de Função. Ele amplia o estudo sem interromper a sequência principal.
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1 🔬 Domínio de Funções — Guia Completo
O domínio de uma função é o conjunto das entradas permitidas.
No Cálculo, isso é decisivo. Antes de perguntar sobre limite, continuidade, derivada ou integral, precisamos saber onde a função existe.
Este aprofundamento organiza as principais restrições de domínio que aparecem em funções reais.
1.1 🧭 Regra geral
Para encontrar o domínio real de uma função, fazemos a pergunta:
Para quais valores reais de \(x\) a expressão faz sentido?
As restrições mais comuns vêm de:
- denominadores;
- raízes de índice par;
- logaritmos;
- tangente e outras funções trigonométricas com denominador;
- composições;
- funções definidas por partes.
1.2 ➗ Frações
Em uma fração, o denominador não pode ser zero.
Por exemplo:
\[ f(x)=\frac{1}{x-4}. \]
Precisamos de
\[ x-4\neq 0. \]
Logo,
\[ x\neq 4. \]
Assim,
\[ D_f=(-\infty,4)\cup(4,+\infty). \]
1.3 🌱 √ Raízes de índice par
Para raízes de índice par, o radicando precisa ser não negativo.
Por exemplo:
\[ g(x)=\sqrt{x-3}. \]
Precisamos de
\[ x-3\geq 0. \]
Logo,
\[ x\geq 3. \]
Assim,
\[ D_g=[3,+\infty). \]
Outro exemplo:
\[ h(x)=\sqrt{9-x^2}. \]
Precisamos de
\[ 9-x^2\geq 0. \]
Isso equivale a
\[ x^2\leq 9. \]
Logo,
\[ -3\leq x\leq 3. \]
Assim,
\[ D_h=[-3,3]. \]
1.4 📈 Logaritmos
Para logaritmos reais, o argumento precisa ser positivo.
Por exemplo:
\[ p(x)=\ln(x-2). \]
Precisamos de
\[ x-2>0. \]
Logo,
\[ x>2. \]
Assim,
\[ D_p=(2,+\infty). \]
Se
\[ q(x)=\log_2(5-x), \]
precisamos de
\[ 5-x>0. \]
Logo,
\[ x<5. \]
Assim,
\[ D_q=(-\infty,5). \]
1.5 🧩 Composição de restrições
Quando a função combina várias operações, todas as restrições precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo.
Considere:
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-4}. \]
Temos duas restrições:
- raiz quadrada:
\[ x-1\geq 0, \]
logo
\[ x\geq 1; \]
- denominador:
\[ x-4\neq 0, \]
logo
\[ x\neq 4. \]
Portanto,
\[ D_f=[1,4)\cup(4,+\infty). \]
1.6 🔗 Logaritmo com fração
Considere:
\[ g(x)=\ln\left(\frac{x-1}{x+2}\right). \]
Precisamos de
\[ \frac{x-1}{x+2}>0. \]
Além disso, implicitamente
\[ x+2\neq 0. \]
Os pontos críticos são
\[ x=1 \]
e
\[ x=-2. \]
Analisando sinais:
- em \((-\infty,-2)\), a fração é positiva;
- em \((-2,1)\), a fração é negativa;
- em \((1,+\infty)\), a fração é positiva.
Logo,
\[ D_g=(-\infty,-2)\cup(1,+\infty). \]
1.7 🧮 Domínio de função composta
Se
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
então precisamos que:
- \(x\) pertença ao domínio de \(g\);
- \(g(x)\) pertença ao domínio de \(f\).
Por exemplo, se
\[ f(u)=\sqrt{u} \]
e
\[ g(x)=x^2-4, \]
então
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-4}. \]
Precisamos de
\[ x^2-4\geq 0. \]
Logo,
\[ x\leq -2 \]
ou
\[ x\geq 2. \]
Assim,
\[ D_{f\circ g}=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty). \]
1.8 🧱 Funções por partes
Em funções definidas por partes, cada regra vale em uma região do domínio.
Por exemplo:
\[ f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+1}, & x<2,\\ \dfrac{1}{x-3}, & x\geq 2. \end{cases} \]
Na primeira parte, precisamos de
\[ x+1\geq 0, \]
isto é,
\[ x\geq -1. \]
Mas essa parte só vale quando
\[ x<2. \]
Logo, a primeira parte contribui com
\[ [-1,2). \]
Na segunda parte, precisamos de
\[ x-3\neq 0, \]
isto é,
\[ x\neq 3. \]
Mas essa parte só vale quando
\[ x\geq 2. \]
Logo, a segunda parte contribui com
\[ [2,3)\cup(3,+\infty). \]
Portanto,
\[ D_f=[-1,3)\cup(3,+\infty). \]
1.9 ⚠️ Erros comuns
Alguns erros aparecem com frequência:
- esquecer que denominador não pode ser zero;
- usar \(>\) em vez de \(\geq\) em raízes quadradas;
- usar \(\geq\) em vez de \(>\) em logaritmos;
- cancelar fatores e esquecer restrições do domínio original;
- analisar a fórmula simplificada e esquecer a expressão original.
Por exemplo:
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Para \(x\neq 1\), temos
\[ f(x)=x+1. \]
Mas o domínio original exclui \(x=1\).
Logo, o gráfico é a reta \(y=x+1\) com um buraco em \(x=1\).
2 🧪 Exercícios propostos
2.1 🧪 Exercício 1
Determine o domínio real:
- \(f(x)=\dfrac{1}{x+7}\)
- \(g(x)=\sqrt{x-5}\)
- \(h(x)=\ln(x+4)\)
2.2 🧪 Exercício 2
Determine o domínio real:
- \(p(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-6}\)
- \(q(x)=\ln(3-x)\)
- \(r(x)=\sqrt{x^2-16}\)
2.3 🧪 Exercício 3
Determine o domínio de:
\[ s(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-3}\right). \]
2.4 🧪 Exercício 4
Explique por que
\[ \frac{x^2-4}{x-2} \]
não tem domínio igual ao de
\[ x+2. \]
3 ✅ Gabarito comentado
3.1 🧪 Exercício 1
\[ x+7\neq 0 \]
logo
\[ x\neq -7. \]
Assim,
\[ D_f=(-\infty,-7)\cup(-7,+\infty). \]
\[ x-5\geq 0 \]
logo
\[ x\geq 5. \]
Assim,
\[ D_g=[5,+\infty). \]
\[ x+4>0 \]
logo
\[ x>-4. \]
Assim,
\[ D_h=(-4,+\infty). \]
3.2 🧪 Exercício 2
- Precisamos de \(x-2\geq 0\) e \(x-6\neq 0\). Logo:
\[ D_p=[2,6)\cup(6,+\infty). \]
\[ 3-x>0 \]
logo
\[ x<3. \]
Assim,
\[ D_q=(-\infty,3). \]
\[ x^2-16\geq 0 \]
logo
\[ x\leq -4 \]
ou
\[ x\geq 4. \]
Assim,
\[ D_r=(-\infty,-4]\cup[4,+\infty). \]
3.3 🧪 Exercício 3
Precisamos de
\[ \frac{x+1}{x-3}>0. \]
Os pontos críticos são \(x=-1\) e \(x=3\).
A fração é positiva em
\[ (-\infty,-1) \]
e
\[ (3,+\infty). \]
Logo,
\[ D_s=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty). \]
3.4 🧪 Exercício 4
A expressão
\[ \frac{x^2-4}{x-2} \]
tem denominador zero em \(x=2\), portanto \(x=2\) não pertence ao domínio original.
Embora
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2 \]
para \(x\neq 2\), a função original mantém a restrição \(x\neq 2\).
Já \(x+2\) está definida para todo real.
3.5 🧩 Quiz — Domínio de Funções
Q1. Para \(\sqrt{x-1}\) estar definida nos reais, precisamos de:
✓\(x-1\geq 0\).
✗\(x-1>0\) obrigatoriamente.
✗\(x-1\neq 0\).
Q2. Para \(\ln(x+2)\) estar definido, precisamos de:
✗\(x+2\geq 0\).
✓\(x+2>0\).
✗\(x+2\neq 0\) apenas.
Q3. Em uma fração, o denominador deve ser:
✗Sempre positivo.
✗Sempre negativo.
✓Diferente de zero.