🔬 Módulo 1.22-AP: Funções por Partes
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Este AP complementa a aula 1.10 Conceito Formal de Função. Ele amplia o estudo sem interromper a sequência principal.
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🔬 AP anterior: 1.21-AP — Domínio de Funções: Guia Completo
1 🔬 Funções por Partes
Uma função por partes é definida por regras diferentes em regiões diferentes do domínio.
Esse tipo de função é essencial antes de estudar limites laterais, continuidade e descontinuidades.
Por exemplo:
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<2,\\ x^2, & x\geq 2. \end{cases} \]
Para calcular \(f(x)\), primeiro olhamos em qual região \(x\) está. Depois usamos a regra correspondente.
1.1 🧩 Como ler uma função por partes
Considere:
\[ f(x)= \begin{cases} 2x, & x<1,\\ x^2+1, & x\geq 1. \end{cases} \]
Se \(x=0\), usamos a primeira regra, pois \(0<1\):
\[ f(0)=2\cdot 0=0. \]
Se \(x=1\), usamos a segunda regra, pois \(1\geq 1\):
\[ f(1)=1^2+1=2. \]
Se \(x=3\), usamos a segunda regra:
\[ f(3)=3^2+1=10. \]
1.2 🧭 Domínio de funções por partes
O domínio de uma função por partes é a união dos valores permitidos em cada trecho.
Por exemplo:
\[ f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+2}, & x<1,\\ \dfrac{1}{x-3}, & x\geq 1. \end{cases} \]
Na primeira parte, precisamos de
\[ x+2\geq 0, \]
isto é,
\[ x\geq -2. \]
Mas essa regra vale apenas quando
\[ x<1. \]
Logo, a primeira parte contribui com
\[ [-2,1). \]
Na segunda parte, precisamos de
\[ x-3\neq 0, \]
isto é,
\[ x\neq 3. \]
Mas essa regra vale quando
\[ x\geq 1. \]
Logo, a segunda parte contribui com
\[ [1,3)\cup(3,+\infty). \]
Portanto,
\[ D_f=[-2,3)\cup(3,+\infty). \]
1.3 🎯 Pontos de troca
Os pontos onde a regra muda são chamados aqui de pontos de troca.
Em
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<2,\\ x^2, & x\geq 2, \end{cases} \]
o ponto de troca é
\[ x=2. \]
Esse ponto merece atenção especial porque nele podem ocorrer:
- buracos;
- saltos;
- mudança de fórmula;
- descontinuidade;
- continuidade por encaixe.
1.4 👈 Limite pela esquerda e pela direita
Funções por partes são uma preparação natural para limites laterais.
Para entender o comportamento perto de um ponto de troca \(a\), analisamos:
- o que acontece quando \(x\) se aproxima de \(a\) pela esquerda;
- o que acontece quando \(x\) se aproxima de \(a\) pela direita.
Por exemplo:
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<2,\\ x^2, & x\geq 2. \end{cases} \]
Quando \(x\) se aproxima de \(2\) pela esquerda, usamos \(x+1\):
\[ x+1\to 3. \]
Quando \(x\) se aproxima de \(2\) pela direita, usamos \(x^2\):
\[ x^2\to 4. \]
Como os comportamentos laterais são diferentes, há um salto.
1.5 🕳️ Buracos
Um buraco pode ocorrer quando a função se aproxima de um valor, mas o valor definido no ponto é outro ou não existe.
Exemplo:
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x\neq 2,\\ 10, & x=2. \end{cases} \]
Perto de \(2\), a função segue a reta
\[ x+1. \]
Assim, os valores se aproximam de
\[ 3. \]
Mas o valor da função em \(2\) é
\[ f(2)=10. \]
Esse é um exemplo típico de descontinuidade removível.
1.6 🧱 Continuidade por encaixe
Às vezes, escolhemos um parâmetro para fazer as partes se encontrarem.
Considere:
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x<1,\\ ax+1, & x\geq 1. \end{cases} \]
Para as partes se encontrarem em \(x=1\), precisamos que:
\[ 1+2=a\cdot 1+1. \]
Logo:
\[ 3=a+1, \]
portanto
\[ a=2. \]
Esse tipo de problema aparecerá no estudo de continuidade.
1.7 📊 Gráficos de funções por partes
O gráfico de uma função por partes é construído desenhando cada trecho apenas na região onde ele é válido.
Cuidados importantes:
- use ponto aberto quando o extremo não pertence ao trecho;
- use ponto fechado quando o extremo pertence ao trecho;
- verifique se há valores isolados;
- respeite o domínio de cada regra.
Por exemplo, em
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<2,\\ x^2, & x\geq 2, \end{cases} \]
o trecho da reta vale apenas para \(x<2\), e o trecho da parábola vale para \(x\geq 2\).
1.8 🌉 Por que isso importa para limites?
Limites exigem entender o que acontece quando \(x\) se aproxima de um ponto.
Funções por partes mostram que o comportamento pode depender do lado pelo qual nos aproximamos.
Por isso, elas são fundamentais para estudar:
- limites laterais;
- continuidade;
- descontinuidades removíveis;
- descontinuidades por salto;
- funções definidas em contextos reais.
2 🧪 Exercícios propostos
2.1 🧪 Exercício 1
Considere:
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x<0,\\ x^2, & x\geq 0. \end{cases} \]
Calcule:
- \(f(-3)\)
- \(f(0)\)
- \(f(2)\)
2.2 🧪 Exercício 2
Determine o domínio:
\[ g(x)= \begin{cases} \sqrt{x+1}, & x<2,\\ \dfrac{1}{x-4}, & x\geq 2. \end{cases} \]
2.3 🧪 Exercício 3
Considere:
\[ h(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<1,\\ x^2+2, & x\geq 1. \end{cases} \]
Compare o comportamento pela esquerda e pela direita em \(x=1\).
2.4 🧪 Exercício 4
Encontre \(a\) para que as partes se encontrem em \(x=2\):
\[ p(x)= \begin{cases} x+4, & x<2,\\ ax, & x\geq 2. \end{cases} \]
3 ✅ Gabarito comentado
3.1 🧪 Exercício 1
- Como \(-3<0\), usamos \(x+2\):
\[ f(-3)=-3+2=-1. \]
- Como \(0\geq 0\), usamos \(x^2\):
\[ f(0)=0^2=0. \]
- Como \(2\geq 0\), usamos \(x^2\):
\[ f(2)=2^2=4. \]
3.2 🧪 Exercício 2
Na primeira parte, precisamos de
\[ x+1\geq 0, \]
logo
\[ x\geq -1. \]
Como essa parte vale para \(x<2\), ela contribui com
\[ [-1,2). \]
Na segunda parte, precisamos de
\[ x-4\neq 0, \]
logo
\[ x\neq 4. \]
Como essa parte vale para \(x\geq 2\), ela contribui com
\[ [2,4)\cup(4,+\infty). \]
Portanto,
\[ D_g=[-1,4)\cup(4,+\infty). \]
3.3 🧪 Exercício 3
Pela esquerda de \(1\), usamos
\[ 2x+1. \]
Quando \(x\) se aproxima de \(1\) pela esquerda:
\[ 2x+1\to 3. \]
Pela direita de \(1\), usamos
\[ x^2+2. \]
Quando \(x\) se aproxima de \(1\) pela direita:
\[ x^2+2\to 3. \]
Os comportamentos laterais coincidem.
Além disso,
\[ h(1)=1^2+2=3. \]
Então as partes se encontram em \(x=1\).
3.4 🧪 Exercício 4
Para as partes se encontrarem em \(x=2\), precisamos que:
\[ 2+4=2a. \]
Logo,
\[ 6=2a, \]
portanto
\[ a=3. \]
3.5 🧩 Quiz — Funções por Partes
Q1. Em uma função por partes, para calcular \(f(x)\) devemos primeiro:
✓Verificar em qual região do domínio o valor de \(x\) está.
✗Somar todas as regras.
✗Ignorar as condições.
Q2. Pontos onde a regra da função muda são importantes porque:
✗Nunca afetam o gráfico.
✓Podem produzir saltos, buracos ou mudanças de comportamento.
✗Eliminam o domínio da função.
Q3. Funções por partes são especialmente úteis para preparar o estudo de:
✓Limites laterais e continuidade.
✗Apenas multiplicação de frações.
✗Somente números naturais.