📘 Módulo 1.6: Funções Elementares

cálculo
matemática
curso
funções
pré-cálculo
Introdução às principais famílias de funções reais usadas no Cálculo: afins, quadráticas, potências, raízes, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
Autor

Blog do Marcellini

Data de Publicação

4 de junho de 2026

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🎯 Post Anterior: 👉 1.5 Equações e Inequações

Dica❓ Pergunta Disparadora

Quais são as famílias de funções mais importantes para começar o estudo do Cálculo?

Nota📌 Objetivos do Post
  • Reconhecer as principais famílias de funções elementares usadas no Cálculo;
  • Relacionar fórmulas algébricas, domínios e gráficos;
  • Comparar comportamentos típicos: crescimento, decaimento, simetria, periodicidade e restrições de domínio.

1 📘 Funções Elementares

O Cálculo estuda variações. Mas, para estudar variações, precisamos primeiro saber o que varia em função de quê.

É aí que entra o conceito de função.

Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto de partida exatamente um elemento de um conjunto de chegada. No curso de Cálculo de uma variável, trabalharemos principalmente com funções reais de variável real:

\[ f:D \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}. \]

Isso significa que a variável de entrada \(x\) é real, os valores de saída \(f(x)\) também são reais e o domínio \(D\) é um subconjunto da reta real.

1.1 🧭 A ideia de função

Uma função pode ser entendida como uma máquina matemática:

\[ x \longmapsto f(x). \]

Você fornece um valor de entrada \(x\) e a função devolve um valor de saída \(f(x)\).

Por exemplo, se

\[ f(x)=2x+1, \]

então:

\[ f(0)=1,\qquad f(3)=7,\qquad f(-1)=-1. \]

Cada valor de \(x\) no domínio produz exatamente um valor de \(f(x)\).

NotaIdeia central

Uma função não pode atribuir dois valores diferentes a uma mesma entrada.

O diagrama de flechas abaixo ilustra essa ideia: cada elemento do domínio aponta para exatamente um elemento no contradomínio.

Figura 1 
import os
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Ellipse

os.makedirs("images", exist_ok=True)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4.2))
ax.set_xlim(0, 10)
ax.set_ylim(0, 5.5)
ax.axis("off")

dominio = [(2.2, 4), (2.2, 2.8), (2.2, 1.6)]
contradominio = [(7.8, 4), (7.8, 2.8), (7.8, 1.6)]

elipse_dom = Ellipse((2.2, 2.8), width=2.6, height=3.7, fill=False, linewidth=2)
elipse_contra = Ellipse((7.8, 2.8), width=2.8, height=3.7, fill=False, linewidth=2)

ax.add_patch(elipse_dom)
ax.add_patch(elipse_contra)

ax.text(2.2, 5.0, "Domínio", ha="center", fontsize=12, weight="bold")
ax.text(7.8, 5.0, "Contradomínio", ha="center", fontsize=12, weight="bold")

for i, (x, y) in enumerate(dominio, start=1):
    ax.scatter(x, y, s=350)
    ax.text(x, y, f"x{i}", ha="center", va="center", color="white", fontsize=11, weight="bold")

for j, (x, y) in enumerate(contradominio, start=1):
    ax.scatter(x, y, s=350)
    ax.text(x, y, f"y{j}", ha="center", va="center", color="white", fontsize=11, weight="bold")

arrow_pairs = [(dominio[0], contradominio[1]), (dominio[1], contradominio[2]), (dominio[2], contradominio[0])]
for (x1, y1), (x2, y2) in arrow_pairs:
    ax.annotate(
        "",
        xy=(x2 - 0.45, y2),
        xytext=(x1 + 0.45, y1),
        arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.8)
    )

ax.text(5, 0.45, "Cada entrada tem exatamente uma saída", ha="center", fontsize=11)

plt.savefig("images/1-6-diagrama-flechas-funcao.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()

1.2 📈 Funções afins

As funções afins têm a forma

\[ f(x)=ax+b, \]

com \(a\) e \(b\) reais.

O número \(a\) é o coeficiente angular. Ele mede a inclinação da reta. O número \(b\) é o coeficiente linear. Ele indica o ponto onde o gráfico corta o eixo vertical.

Exemplos:

\[ f(x)=2x+1,\qquad g(x)=-3x+4,\qquad h(x)=5. \]

Quando \(a=0\), a função é constante.

As funções afins têm gráficos que são retas. Elas são fundamentais porque representam variações com taxa constante. No gráfico abaixo, comparamos uma função com \(a>0\) e outra com \(a<0\).

Figura 2 
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

os.makedirs("images", exist_ok=True)

x = np.linspace(-4, 4, 400)
f = 2*x + 1
g = -2*x + 1

plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x, f, label=r"$f(x)=2x+1$ $(a>0)$")
plt.plot(x, g, label=r"$g(x)=-2x+1$ $(a<0)$")
plt.title("Funções afins com coeficiente angular positivo e negativo")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-6-funcoes-afins-a-positivo-negativo.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()

1.3 🪃 Funções quadráticas

As funções quadráticas têm a forma

\[ f(x)=ax^2+bx+c, \]

com \(a\neq 0\).

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Se \(a>0\), a parábola tem concavidade voltada para cima. Se \(a<0\), a concavidade é voltada para baixo.

Exemplos:

\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=-x^2+4x,\qquad h(x)=2x^2-3x+1. \]

As funções quadráticas aparecem em problemas de áreas, movimento, otimização e modelagem.

Figura 3 
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

os.makedirs("images", exist_ok=True)

x = np.linspace(-3, 3, 500)
f = x**2
g = -x**2

plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x, f, label=r"$f(x)=x^2$ $(a>0)$")
plt.plot(x, g, label=r"$g(x)=-x^2$ $(a<0)$")
plt.title("Funções quadráticas: concavidade para cima e para baixo")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-6-quadraticas-a-positivo-negativo.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()

1.4 🔢 Funções potência

Uma função potência tem a forma

\[ f(x)=x^n, \]

em que \(n\) é um número real ou, nos casos mais básicos, um inteiro.

Exemplos importantes:

\[ f(x)=x,\qquad g(x)=x^2,\qquad h(x)=x^3,\qquad p(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}. \]

Quando \(n\) é positivo, a função potência costuma representar crescimento algébrico. Quando \(n\) é negativo, aparecem funções racionais simples, com restrições no domínio.

Os gráficos abaixo comparam, um par por vez, \(n=1\) e \(n=-1\), \(n=2\) e \(n=-2\), \(n=3\) e \(n=-3\), \(n=4\) e \(n=-4\). A separação em figuras verticais evita gráficos muito largos e facilita a leitura em telas menores.

(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4 
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

os.makedirs("images", exist_ok=True)

x = np.linspace(-3, 3, 1200)
x_no_zero = x[np.abs(x) > 0.08]

for n in [1, 2, 3, 4]:
    plt.figure(figsize=(6, 4.2))
    plt.axhline(0, linewidth=1)
    plt.axvline(0, linewidth=1)
    plt.plot(x, x**n, label=fr"$x^{n}$")
    plt.plot(x_no_zero, x_no_zero**(-n), label=fr"$x^{{-{n}}}$")
    plt.title(fr"Funções potência: $x^{n}$ e $x^{{-{n}}}$")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    plt.ylim(-10, 10)
    plt.grid(True)
    plt.legend()
    plt.savefig(f"images/1-6-funcoes-potencia-n-{n}-e-menos-{n}.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
    plt.show()

1.5 🧩 √ Funções raiz

As funções raiz surgem quando tomamos potências fracionárias.

O exemplo mais importante é

\[ f(x)=\sqrt{x}. \]

Essa função está definida, no conjunto dos reais, apenas para

\[ x\geq 0. \]

Portanto, seu domínio real é

\[ [0,+\infty). \]

Outros exemplos:

\[ g(x)=\sqrt{x-2},\qquad h(x)=\sqrt{9-x^2}. \]

A determinação do domínio de funções com raiz envolve inequações, como vimos na aula anterior. O gráfico abaixo mostra esses exemplos e destaca visualmente como o domínio aparece no desenho.

Figura 5 
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

os.makedirs("images", exist_ok=True)

x1 = np.linspace(0, 9, 400)
y1 = np.sqrt(x1)

x2 = np.linspace(2, 11, 400)
y2 = np.sqrt(x2 - 2)

x3 = np.linspace(-3, 3, 500)
y3 = np.sqrt(9 - x3**2)

plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x1, y1, label=r"$f(x)=\sqrt{x}$")
plt.plot(x2, y2, label=r"$g(x)=\sqrt{x-2}$")
plt.plot(x3, y3, label=r"$h(x)=\sqrt{9-x^2}$")
plt.title("Exemplos de funções raiz e seus domínios")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-6-funcoes-raiz-exemplos.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()

1.6 🚀 Funções exponenciais

Uma função exponencial básica tem a forma

\[ f(x)=a^x, \]

com

\[ a>0 \]

e

\[ a\neq 1. \]

Exemplos:

\[ f(x)=2^x,\qquad g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x,\qquad h(x)=e^x. \]

Quando \(a>1\), a função cresce rapidamente. Quando \(0<a<1\), ela decresce.

A função

\[ e^x \]

terá papel central no Cálculo, pois sua derivada é ela mesma:

\[ \frac{d}{dx}e^x=e^x. \]

Esse resultado será estudado mais adiante.

Figura 6 
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

os.makedirs("images", exist_ok=True)

x = np.linspace(-4, 4, 500)
f = 2**x
g = (1/2)**x
h = np.exp(x)

plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x, f, label=r"$2^x$")
plt.plot(x, g, label=r"$\left(\frac{1}{2}\right)^x$")
plt.plot(x, h, label=r"$e^x$")
plt.title("Funções exponenciais: crescimento e decaimento")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.ylim(0, 20)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-6-funcoes-exponenciais.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()

1.7 🪞 Funções logarítmicas

A função logarítmica é a inversa da função exponencial.

A função

\[ f(x)=\log_a x \]

está definida para

\[ x>0, \]

com

\[ a>0 \]

e

\[ a\neq 1. \]

O logaritmo responde à pergunta:

A que expoente devemos elevar a base \(a\) para obter \(x\)?

Por exemplo,

\[ \log_2 8=3, \]

pois

\[ 2^3=8. \]

O logaritmo natural, escrito

\[ \ln x, \]

é o logaritmo de base \(e\). Ele aparece constantemente em derivadas, integrais, crescimento contínuo e equações diferenciais.

O gráfico abaixo compara \(\log_2 x\), \(\log_{1/2}x\) e \(\ln x\).

Figura 7 
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

os.makedirs("images", exist_ok=True)

x = np.linspace(0.05, 8, 500)
f = np.log(x) / np.log(2)
g = np.log(x) / np.log(1/2)
h = np.log(x)

plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x, f, label=r"$\log_2 x$")
plt.plot(x, g, label=r"$\log_{1/2} x$")
plt.plot(x, h, label=r"$\ln x$")
plt.title("Funções logarítmicas: bases 2, 1/2 e e")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.ylim(-4, 4)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-6-funcoes-logaritmicas.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()

1.8 🌊 Funções trigonométricas

As funções trigonométricas mais importantes no Cálculo inicial são

\[ \sin x,\qquad \cos x,\qquad \tan x. \]

Elas aparecem no estudo de fenômenos periódicos, ondas, movimento circular, oscilações e geometria.

As funções seno e cosseno estão definidas para todos os reais:

\[ D_{\sin}=D_{\cos}=\mathbb{R}. \]

A tangente, por outro lado, não está definida quando

\[ \cos x=0. \]

Portanto, seu domínio exclui os pontos

\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \]

com \(k\in\mathbb{Z}\).

Figura 8 
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

os.makedirs("images", exist_ok=True)

x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 2000)
sinx = np.sin(x)
cosx = np.cos(x)
tanx = np.tan(x)

tan_plot = tanx.copy()
tan_plot[np.abs(tan_plot) > 6] = np.nan

plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x, sinx, label=r"$\sin x$")
plt.plot(x, cosx, label=r"$\cos x$")
plt.plot(x, tan_plot, label=r"$\tan x$")
plt.title("Funções trigonométricas básicas")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.ylim(-4, 4)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-6-funcoes-trigonometricas.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()

1.9 🧭 Domínio e comportamento

Ao estudar uma função elementar, devemos sempre perguntar:

  1. Qual é o domínio?
  2. Qual é a imagem?
  3. O gráfico cresce ou decresce?
  4. Há zeros?
  5. Há assíntotas?
  6. Há simetrias?
  7. Que tipo de fenômeno essa função pode modelar?

Essas perguntas preparam o caminho para a ideia de limite. O Cálculo começa justamente quando passamos a perguntar o que acontece com \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de certo valor.

1.10 🧾 Uma primeira tabela de referência

Família Forma típica Comentário
Afim \(ax+b\) Gráfico é uma reta
Quadrática \(ax^2+bx+c\) Gráfico é uma parábola
Potência \(x^n\) Crescimento algébrico
Raiz \(\sqrt{x}\) Domínio restrito nos reais
Exponencial \(a^x\) Crescimento ou decaimento rápido
Logarítmica \(\log_a x\) Inversa da exponencial
Trigonométrica \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\) Fenômenos periódicos

1.11 🧾 Quadro-resumo

Família Forma típica Domínio real mais comum Comportamento principal
Função afim \(f(x)=ax+b\) \(\mathbb{R}\) Reta; cresce se \(a>0\), decresce se \(a<0\)
Função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\) \(\mathbb{R}\) Parábola; concavidade depende do sinal de \(a\)
Função potência \(f(x)=x^n\) Depende de \(n\) Pode representar crescimento algébrico ou comportamento racional
Função raiz \(f(x)=\sqrt{x}\) ou variações Geralmente exige radicando \(\geq 0\) Tem domínio restrito nos reais
Função exponencial \(f(x)=a^x\), \(a>0\), \(a\neq 1\) \(\mathbb{R}\) Cresce se \(a>1\), decresce se \(0<a<1\)
Função logarítmica \(f(x)=\log_a x\) \((0,+\infty)\) Inversa da exponencial; exige argumento positivo
Funções trigonométricas \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\) Varia conforme a função Modelam fenômenos periódicos
Nota🧭 Ideia central do post

As funções elementares formam o vocabulário básico do Cálculo.

Antes de estudar limites, derivadas e integrais, precisamos reconhecer:

  • a fórmula da função;
  • seu domínio;
  • seu comportamento gráfico;
  • seus pontos especiais, como zeros, assíntotas, simetrias ou periodicidade.

2 🧪 Exercícios propostos

Nota📝 Exercícios

2.1 🧪 Exercício 1

Classifique cada função como afim, quadrática, potência, raiz, exponencial, logarítmica ou trigonométrica:

  1. \(f(x)=3x-2\)
  2. \(g(x)=x^2-4x+1\)
  3. \(h(x)=\sqrt{x+5}\)
  4. \(p(x)=2^x\)
  5. \(q(x)=\ln x\)
  6. \(r(x)=\sin x\)

2.2 🧪 Exercício 2

Determine o domínio real das funções:

  1. \(f(x)=\sqrt{x-3}\)
  2. \(g(x)=\ln(x+1)\)
  3. \(h(x)=\dfrac{1}{x}\)
  4. \(p(x)=\sqrt{4-x^2}\)

2.3 🧪 Exercício 3

Calcule:

  1. \(f(2)\) para \(f(x)=3x+1\)
  2. \(g(-1)\) para \(g(x)=x^2+2x\)
  3. \(h(4)\) para \(h(x)=\sqrt{x}\)
  4. \(p(3)\) para \(p(x)=2^x\)

2.4 🧪 Exercício 4

Diga se cada afirmação é verdadeira ou falsa:

  1. A função \(f(x)=x^2\) é afim.
  2. A função \(f(x)=2^x\) é exponencial.
  3. A função \(f(x)=\ln x\) está definida para todo \(x\in\mathbb{R}\).
  4. A função \(f(x)=\sin x\) está definida para todo \(x\in\mathbb{R}\).

2.5 🧪 Exercício 5

Explique, com suas palavras, por que o domínio é uma informação essencial no estudo de funções.

3 ✅ Gabarito comentado

3.1 🧪 Exercício 1

  1. \(f(x)=3x-2\) é afim.
  2. \(g(x)=x^2-4x+1\) é quadrática.
  3. \(h(x)=\sqrt{x+5}\) é uma função raiz.
  4. \(p(x)=2^x\) é exponencial.
  5. \(q(x)=\ln x\) é logarítmica.
  6. \(r(x)=\sin x\) é trigonométrica.

3.2 🧪 Exercício 2

  1. Para \(f(x)=\sqrt{x-3}\), precisamos de \(x-3\geq 0\), isto é, \(x\geq 3\). Logo, \(D_f=[3,+\infty)\).

  2. Para \(g(x)=\ln(x+1)\), precisamos de \(x+1>0\), isto é, \(x>-1\). Logo, \(D_g=(-1,+\infty)\).

  3. Para \(h(x)=\dfrac{1}{x}\), precisamos de \(x\neq 0\). Logo, \(D_h=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\).

  4. Para \(p(x)=\sqrt{4-x^2}\), precisamos de \(4-x^2\geq 0\), isto é, \(x^2\leq 4\). Logo, \(-2\leq x\leq 2\), e \(D_p=[-2,2]\).

3.3 🧪 Exercício 3

  1. \(f(2)=3\cdot 2+1=7\).

  2. \(g(-1)=(-1)^2+2(-1)=1-2=-1\).

  3. \(h(4)=\sqrt{4}=2\).

  4. \(p(3)=2^3=8\).

3.4 🧪 Exercício 4

  1. Falsa. \(f(x)=x^2\) é quadrática.

  2. Verdadeira. \(f(x)=2^x\) é exponencial.

  3. Falsa. \(\ln x\) só está definida, nos reais, para \(x>0\).

  4. Verdadeira. \(\sin x\) está definida para todo número real.

3.5 🧪 Exercício 5

O domínio é essencial porque determina quais entradas são permitidas para a função. Sem conhecer o domínio, podemos tentar calcular valores que não fazem sentido nos reais, como \(\sqrt{-1}\) ou \(\ln 0\), dentro do contexto deste curso.

4 🧩 Quiz — Funções Elementares

Q1. Uma função afim tem forma geral:

✓\(f(x)=ax+b\).

✗\(f(x)=a^x\).

✗\(f(x)=\sqrt{x}\).

Q2. O domínio real de \(\ln x\) é:

✗\(\mathbb{R}\).

✓\((0,+\infty)\).

✗\([0,+\infty)\).

Q3. A função \(e^x\) é especialmente importante no Cálculo porque:

✗Não possui valores positivos.

✗Está definida apenas para \(x>0\).

✓Sua derivada é ela mesma.