📘 Módulo 1.7: Funções Polinomiais e Racionais
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funções
polinômios
funções racionais
Estudo das funções polinomiais e racionais, seus domínios, zeros, sinais, gráficos e comportamento assintótico.
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🎯 Post Anterior: 👉 1.6 Funções Elementares
Dica❓ Pergunta Disparadora
Como os polinômios e quocientes de polinômios ajudam a compreender zeros, sinais, descontinuidades e assíntotas?
Nota📌 Objetivos do Post
- Reconhecer funções polinomiais e racionais e identificar seus domínios;
- Interpretar zeros, fatoração e sinais de uma função polinomial;
- Visualizar graficamente buracos, assíntotas verticais e comportamento no infinito em funções racionais.
1 📘 Funções Polinomiais e Racionais
Entre as funções elementares, duas famílias aparecem continuamente no Cálculo: as funções polinomiais e as funções racionais.
As funções polinomiais são construídas a partir de somas de potências inteiras não negativas de \(x\). As funções racionais são quocientes de polinômios.
Essas duas famílias são importantes porque combinam simplicidade algébrica com grande riqueza gráfica. Elas permitem discutir zeros, sinais, crescimento, domínio, continuidade, assíntotas e comportamento no infinito.
1.1 🧮 Funções polinomiais
Uma função polinomial tem a forma
\[ \boxed{ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 } \]
em que os coeficientes
\[ a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R} \]
e
\[ a_n\neq 0. \]
O número \(n\) é chamado de grau do polinômio.
Exemplos:
\[ p(x)=3x-2 \]
é um polinômio de grau \(1\).
\[ q(x)=x^2-5x+6 \]
é um polinômio de grau \(2\).
\[ r(x)=2x^3-x+1 \]
é um polinômio de grau \(3\).
Os gráficos abaixo ajudam a visualizar esses três exemplos de funções polinomiais de graus diferentes.
NotaClique para ver o código
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
os.makedirs("images", exist_ok=True)
# Exemplo 1
x = np.linspace(-3, 3, 400)
plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x, 3*x - 2, label=r"$p(x)=3x-2$")
plt.title("Exemplo de polinômio de grau 1")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-polinomio-grau-1.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()
# Exemplo 2
x = np.linspace(-1, 6, 500)
plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x, x**2 - 5*x + 6, label=r"$q(x)=x^2-5x+6$")
plt.title("Exemplo de polinômio de grau 2")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-polinomio-grau-2.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()
# Exemplo 3
x = np.linspace(-2, 2, 500)
plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x, 2*x**3 - x + 1, label=r"$r(x)=2x^3-x+1$")
plt.title("Exemplo de polinômio de grau 3")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-polinomio-grau-3.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()1.2 🌍 Domínio de funções polinomiais
Toda função polinomial real está definida para todo número real.
Assim, se
\[ p(x)=x^4-3x^2+1, \]
então
\[ D_p=\mathbb{R}. \]
Isso acontece porque as operações que formam um polinômio — soma, subtração, multiplicação e potências inteiras não negativas — fazem sentido para qualquer \(x\in\mathbb{R}\).
NotaIdeia importante
Funções polinomiais não têm restrições de domínio nos reais.
1.3 🎯 Zeros de uma função polinomial
Os zeros (ou raízes) de uma função polinomial são os valores de \(x\) para os quais
\[ \boxed{p(x)=0}. \]
Por exemplo, considere
\[ p(x)=x^2-5x+6. \]
Fatorando,
\[ p(x)=(x-2)(x-3). \]
Logo, os zeros são
\[ x=2 \]
e
\[ x=3. \]
Graficamente, os zeros são os pontos onde o gráfico corta ou toca o eixo horizontal.
Nota💡 Dica de fatoração
Quando um polinômio de grau \(2\) tem raízes \(x_1\) e \(x_2\), podemos escrevê-lo na forma
\[ p(x)=a(x-x_1)(x-x_2), \]
em que \(a\) é o coeficiente dominante, isto é, o coeficiente do termo de maior grau.
No exemplo
\[ p(x)=x^2-5x+6, \]
as raízes são \(2\) e \(3\), e como o coeficiente de \(x^2\) é \(1\), temos
\[ p(x)=(x-2)(x-3). \]
Se o polinômio fosse, por exemplo,
\[ 2x^2-10x+12, \]
então a fatoração seria
\[ 2(x-2)(x-3). \]
A imagem abaixo mostra graficamente como os zeros aparecem como interseções com o eixo \(x\).
1.4 📊 Sinal de uma função polinomial
Depois de encontrar os zeros, podemos estudar em quais intervalos a função é positiva ou negativa.
Para
\[ p(x)=(x-2)(x-3), \]
os zeros \(2\) e \(3\) dividem a reta em três intervalos:
\[ (-\infty,2),\qquad (2,3),\qquad (3,+\infty). \]
Analisando o sinal:
- em \((-\infty,2)\), os dois fatores são negativos, então \(p(x)>0\);
- em \((2,3)\), os fatores têm sinais opostos, então \(p(x)<0\);
- em \((3,+\infty)\), os dois fatores são positivos, então \(p(x)>0\).
Esse tipo de análise será essencial quando estudarmos crescimento, concavidade e esboço de gráficos.
O gráfico a seguir destaca as raízes \(x=2\) e \(x=3\) e indica o sinal da função em cada subintervalo.
NotaClique para ver o código
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
os.makedirs("images", exist_ok=True)
x = np.linspace(-1, 6, 500)
y = x**2 - 5*x + 6
plt.figure(figsize=(6.6, 4.4))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x, y, label=r"$p(x)=x^2-5x+6$")
plt.scatter([2, 3], [0, 0], s=70)
plt.axvline(2, linestyle="--", linewidth=1)
plt.axvline(3, linestyle="--", linewidth=1)
plt.text(0.2, 2.8, r"$p(x)>0$")
plt.text(2.45, -0.9, r"$p(x)<0$")
plt.text(4.0, 2.8, r"$p(x)>0$")
plt.text(2, 0.35, "2", ha="center")
plt.text(3, 0.35, "3", ha="center")
plt.title("Sinal de $p(x)=x^2-5x+6$")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-sinal-polinomio.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()Até aqui, estudamos funções formadas por somas e produtos de potências de \(x\). Agora vamos dar um passo adiante: estudar quocientes de polinômios.
Essa mudança parece pequena, mas traz uma novidade importante: o denominador pode ser zero. É daí que surgem restrições de domínio, buracos e assíntotas.
1.5 ➗ Funções racionais
Uma função racional é uma função da forma
\[ \boxed{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},\qquad q(x)\neq 0 } \]
em que \(p(x)\) e \(q(x)\) são polinômios.
Nota🧭 Pergunta obrigatória
Antes de estudar qualquer função racional, a primeira pergunta deve ser:
\[ \boxed{q(x)\neq 0?} \]
Ou seja: quais valores tornam o denominador zero e precisam ser excluídos do domínio?
Exemplos:
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \]
\[ g(x)=\frac{x+1}{x-2}, \]
\[ h(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}. \]
As funções racionais aparecem naturalmente quando dividimos grandezas, modelamos taxas médias ou estudamos expressões algébricas com denominadores variáveis.
Os exemplos a seguir mostram alguns gráficos típicos de funções racionais básicas.
NotaClique para ver o código
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
os.makedirs("images", exist_ok=True)
# Exemplo 1: f(x)=1/x
x1 = np.linspace(-5, -0.15, 400)
x2 = np.linspace(0.15, 5, 400)
plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x1, 1/x1, label=r"$f(x)=\frac{1}{x}$")
plt.plot(x2, 1/x2)
plt.title("Função racional: $f(x)=1/x$")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.ylim(-6, 6)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-racional-1-sobre-x.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()
# Exemplo 2: g(x)=(x+1)/(x-2)
x1 = np.linspace(-5, 1.85, 500)
x2 = np.linspace(2.15, 7, 500)
plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x1, (x1+1)/(x1-2), label=r"$g(x)=\frac{x+1}{x-2}$")
plt.plot(x2, (x2+1)/(x2-2))
plt.title("Função racional: $g(x)=\\frac{x+1}{x-2}$")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.ylim(-8, 8)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-racional-x-mais-1-sobre-x-menos-2.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()
# Exemplo 3: h(x)=(x^2-1)/(x^2-4)
x1 = np.linspace(-5, -2.15, 400)
x2 = np.linspace(-1.85, 1.85, 400)
x3 = np.linspace(2.15, 5, 400)
plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x1, (x1**2 - 1)/(x1**2 - 4), label=r"$h(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}$")
plt.plot(x2, (x2**2 - 1)/(x2**2 - 4))
plt.plot(x3, (x3**2 - 1)/(x3**2 - 4))
plt.title("Função racional: $h(x)=\\frac{x^2-1}{x^2-4}$")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.ylim(-8, 8)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-racional-x2-menos-1-sobre-x2-menos-4.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()1.6 🚫 Domínio de funções racionais
O domínio de uma função racional exclui os valores que anulam o denominador.
Por exemplo, para
\[ f(x)=\frac{x+1}{x-2}, \]
precisamos de
\[ x-2\neq 0. \]
Logo,
\[ x\neq 2. \]
Assim,
\[ D_f=(-\infty,2)\cup(2,+\infty). \]
Para
\[ g(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}, \]
temos
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Portanto, o denominador zera em
\[ x=-2 \]
e
\[ x=2. \]
Logo,
\[ D_g=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty). \]
1.7 🕳️ Cancelamento e domínio
Considere
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Como
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
podemos escrever
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}. \]
Para \(x\neq 1\), podemos cancelar o fator \(x-1\) e obter
\[ f(x)=x+1. \]
Mas é muito importante observar:
AvisoCuidado
O cancelamento simplifica a expressão, mas não recupera o ponto excluído do domínio original, isto é, o ponto em que a função não está definida.
A função original não está definida em \(x=1\). Portanto,
\[ D_f=(-\infty,1)\cup(1,+\infty). \]
O gráfico coincide com a reta \(y=x+1\), exceto por um buraco no ponto correspondente a \(x=1\).
O gráfico abaixo mostra exatamente essa situação: a expressão simplificada parece uma reta, mas a função original mantém uma descontinuidade removível em \(x=1\).
Portanto, o cancelamento muda a aparência algébrica da expressão, mas não muda o domínio da função original.
NotaClique para ver o código
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
os.makedirs("images", exist_ok=True)
x1 = np.linspace(-3, 0.95, 300)
x2 = np.linspace(1.05, 4, 300)
plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x1, x1 + 1, label=r"$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,\; x\neq 1$")
plt.plot(x2, x2 + 1)
plt.scatter([1], [2], s=110, facecolors='white', edgecolors='black', linewidths=2.0, zorder=5)
plt.text(1.18, 2.28, "buraco em (1,2)")
plt.title("Cancelamento e domínio")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-cancelamento-buraco.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()
Nota🔍 Buraco ou assíntota?
Um fator cancelado pode gerar um buraco no gráfico.
Um fator que permanece no denominador pode gerar uma assíntota vertical.
1.8 📏 Assíntotas verticais
Uma assíntota vertical pode aparecer quando o denominador de uma função racional se aproxima de zero e a função cresce sem limite em valor absoluto.
Por exemplo:
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
O domínio exclui \(x=2\).
Quando \(x\) se aproxima de \(2\), o denominador se aproxima de zero. A função pode assumir valores muito grandes positivos ou negativos.
Por isso, a reta
\[ x=2 \]
é uma assíntota vertical.
No estudo de limites, voltaremos a esse fenômeno com mais precisão.
O gráfico abaixo mostra a função e a assíntota vertical \(x=2\).
NotaClique para ver o código
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
os.makedirs("images", exist_ok=True)
x1 = np.linspace(-4, 1.85, 400)
x2 = np.linspace(2.15, 8, 400)
plt.figure(figsize=(6, 4.2))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x1, 1/(x1 - 2), label=r"$f(x)=\frac{1}{x-2}$")
plt.plot(x2, 1/(x2 - 2))
plt.axvline(2, linestyle="--", linewidth=1.2, label=r"assíntota vertical $x=2$")
plt.title("Assíntota vertical de $f(x)=\\frac{1}{x-2}$")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.ylim(-8, 8)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-assintota-vertical.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()1.9 ♾️ Comportamento no infinito
Funções racionais também têm comportamento interessante quando \(x\) cresce indefinidamente.
Considere
\[ f(x)=\frac{2x+1}{x-3}. \]
Para valores muito grandes de \(x\), os termos dominantes são \(2x\) no numerador e \(x\) no denominador. Assim, a função se comporta aproximadamente como
\[ \frac{2x}{x}=2. \]
Isso sugere que, quando \(x\) vai para \(+\infty\) ou \(-\infty\), o gráfico se aproxima da reta horizontal
\[ y=2. \]
Essa reta é chamada de assíntota horizontal.
No gráfico abaixo, incluímos tanto a assíntota vertical quanto a assíntota horizontal para visualizar melhor o comportamento da função.
NotaClique para ver o código
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
os.makedirs("images", exist_ok=True)
x1 = np.linspace(-10, 2.85, 500)
x2 = np.linspace(3.15, 10, 500)
plt.figure(figsize=(6.4, 4.4))
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.axvline(0, linewidth=1)
plt.plot(x1, (2*x1 + 1)/(x1 - 3), label=r"$f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$")
plt.plot(x2, (2*x2 + 1)/(x2 - 3))
plt.axvline(3, linestyle="--", linewidth=1.2, label=r"assíntota vertical $x=3$")
plt.axhline(2, linestyle="--", linewidth=1.2, label=r"assíntota horizontal $y=2$")
plt.title("Comportamento no infinito e assíntotas")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.ylim(-10, 10)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig("images/1-7-comportamento-infinito.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()1.10 🌟 Por que essas funções são tão importantes?
Funções polinomiais e racionais são importantes porque:
- são algébricas e manipuláveis;
- ajudam a treinar fatoração, domínio e análise de sinais;
- aparecem em limites;
- fornecem exemplos claros de continuidade e descontinuidade;
- permitem visualizar assíntotas;
- servem de base para modelos mais sofisticados.
Antes de estudar limites formalmente, é essencial estar confortável com essas funções.
1.11 🧾 Quadro-resumo
| Situação | O que observar | Efeito no gráfico |
|---|---|---|
| Polinômio | Grau, zeros e coeficiente dominante | Curva contínua, sem restrições de domínio |
| Zero de polinômio | \(p(x)=0\) | Interseção com o eixo \(x\) |
| Função racional | Denominador \(q(x)\neq 0\) | Pode ter restrições de domínio |
| Fator cancelado | Fator comum no numerador e denominador | Pode gerar buraco |
| Fator não cancelado no denominador | Denominador zera | Pode gerar assíntota vertical |
| Graus do numerador e denominador | Termos dominantes | Indicam comportamento no infinito |
2 🧪 Exercícios propostos
Nota📝 Exercícios
2.1 🧪 Exercício 1
Determine o grau dos polinômios:
- \(p(x)=4x^3-2x+1\)
- \(q(x)=7x-5\)
- \(r(x)=x^5+x^2-1\)
- \(s(x)=9\)
2.2 🧪 Exercício 2
Encontre os zeros das funções polinomiais:
- \(p(x)=x^2-4\)
- \(q(x)=x^2-3x+2\)
- \(r(x)=x(x-5)\)
2.3 🧪 Exercício 3
Determine o domínio real das funções racionais:
- \(f(x)=\dfrac{1}{x-4}\)
- \(g(x)=\dfrac{x+1}{x^2-9}\)
- \(h(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\)
2.4 🧪 Exercício 4
Simplifique a expressão, indicando a restrição de domínio:
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}. \]
2.5 🧪 Exercício 5
Determine os intervalos em que
\[ p(x)=x^2-3x+2 \]
é positiva e negativa.
Importante✅ Gabarito
3 ✅ Gabarito comentado
3.1 🧪 Exercício 1
\(p(x)=4x^3-2x+1\) tem grau \(3\).
\(q(x)=7x-5\) tem grau \(1\).
\(r(x)=x^5+x^2-1\) tem grau \(5\).
\(s(x)=9\) é um polinômio constante, de grau \(0\), desde que a constante seja não nula.
3.2 🧪 Exercício 2
\(p(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)\). Logo, os zeros são \(x=-2\) e \(x=2\).
\(q(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Logo, os zeros são \(x=1\) e \(x=2\).
\(r(x)=x(x-5)\). Logo, os zeros são \(x=0\) e \(x=5\).
3.3 🧪 Exercício 3
Para \(f(x)=\dfrac{1}{x-4}\), precisamos de \(x-4\neq 0\), isto é, \(x\neq 4\). Logo, \(D_f=(-\infty,4)\cup(4,+\infty)\).
Para \(g(x)=\dfrac{x+1}{x^2-9}\), precisamos de \(x^2-9\neq 0\). Como \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), temos \(x\neq -3\) e \(x\neq 3\). Logo, \(D_g=(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,+\infty)\).
Para \(h(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\), precisamos de \(x-1\neq 0\), isto é, \(x\neq 1\). Mesmo que haja cancelamento algébrico, o domínio da expressão original exclui \(1\). Logo, \(D_h=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)\).
3.4 🧪 Exercício 4
Temos:
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}. \]
Como
\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]
obtemos
\[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}. \]
Para \(x\neq 2\), podemos cancelar \(x-2\):
\[ f(x)=x+2. \]
A restrição é
\[ x\neq 2. \]
Portanto, a expressão simplificada é \(x+2\), mas o domínio original é
\[ (-\infty,2)\cup(2,+\infty). \]
3.5 🧪 Exercício 5
Temos
\[ p(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]
Os zeros são \(1\) e \(2\). Eles dividem a reta em:
\[ (-\infty,1),\qquad (1,2),\qquad (2,+\infty). \]
Analisando sinais:
- em \((-\infty,1)\), os dois fatores são negativos, então \(p(x)>0\);
- em \((1,2)\), os fatores têm sinais opostos, então \(p(x)<0\);
- em \((2,+\infty)\), os dois fatores são positivos, então \(p(x)>0\).
Logo, \(p(x)>0\) em
\[ (-\infty,1)\cup(2,+\infty) \]
e \(p(x)<0\) em
\[ (1,2). \]
4 🧩 Quiz — Funções Polinomiais e Racionais
Q1. Toda função polinomial real tem domínio:
✓\(\mathbb{R}\).
✗Apenas os números positivos.
✗Apenas os números diferentes de zero.
Q2. Em uma função racional, devemos excluir do domínio os valores que:
✗Anulam o numerador.
✓Anulam o denominador.
✗Tornam a função positiva.
Q3. Ao simplificar \(\dfrac{x^2-1}{x-1}\) para \(x+1\), devemos lembrar que:
✓O valor \(x=1\) continua excluído do domínio original.
✗A função passa a valer zero em \(x=1\).
✗O domínio passa automaticamente a ser todo \(\mathbb{R}\).